Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點(diǎn)，連接FE、ED，BF的延長(zhǎng)線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GC．

（1）求證：EF∥CG；

（2）若AC=AB，求證：AC=CG；

（3）如圖2，若CG=EG，則= ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)D、E分別是線段AC、BC的中點(diǎn)可得出DE為△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出∠CDE=∠A，進(jìn)而可得出∠FDG=∠A，由此即可證出△ABF≌△DGF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BF=GF，即點(diǎn)F為線段BG的中點(diǎn)，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出EF∥CG；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，根據(jù)邊與邊的關(guān)系找出比例關(guān)系==，由此即可得出△BAF∽△CAM，進(jìn)而得出CF⊥BG，再由點(diǎn)F為線段BG的中點(diǎn)即可得出BC=CG，通過(guò)等量代換即可證出AC=CG；

（3）根據(jù)DE∥AB即可得出∠GEC=∠CBA，結(jié)合兩三角形為等腰三角形即可得出△GEC∽△CBA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵點(diǎn)D、E分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥AB，∴∠CDE=∠A．∵∠CDE=FDG，∴∠FDG=∠A．

∵點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，∴AF=DF．

在△ABF和△DGF中，，

∴△ABF≌△DGF（ASA），∴BF=GF，∴點(diǎn)F為線段BG的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，∴EF為△BCG的中位線，∴EF∥CG．

（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M．∵AC=BC，

∴AM=BM=AB．∵AC=AB，

∴==．∵AF=AD=AC=AB，∴==，

∴△BAF∽△CAM，∴∠AFB=∠AMC=90°，∴CF⊥BG．

∵點(diǎn)F為線段BG的中點(diǎn)，∴BC=CG，又∵AC=BC，∴AC=CG．

（3）∵DE為△ABC的中位線，∴DE=AB，CE=BC=AC，∵DG=AB，EG=DE+DG，

∴EG=AB．∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG，

∴△GEC∽△CBA，∴，既，∴

故答案為：．