如圖,直角坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)O(0,0),A(2,0),點(diǎn)B在第一象限且△OA精英家教網(wǎng)B為正三角形,△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D.
(1)求B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求直線CD的函數(shù)解析式;
(3)設(shè)E,F(xiàn)分別是線段AB,AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF平分四邊形ABCD的周長(zhǎng).試探究:△AEF的最大面積.
分析:(1)作BG⊥OA于G,連接AC.利用等邊三角形的性質(zhì)可知:OG=1,BG=
3
,所以B(1,
3
).根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)值可計(jì)算得OC=OAtan30°=
2
3
3
.所以C(0,
2
3
3
).
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD=OCtan30°=
2
3
.即D(-
2
3
,0)
,結(jié)合點(diǎn)C(0,
2
3
3
),利用待定系數(shù)法求得直線CD的函數(shù)解析式為y=
3
x+
2
3
3

(3)先求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)6+
2
3
3
.設(shè)AE=t,△AEF的面積為S,根據(jù)題意用含t的代數(shù)式表示S,即可得到關(guān)于S,t的二次函數(shù),S=
3
4
t(3+
3
3
-t),結(jié)合自變量t的取值范圍
1+
3
3
≤t≤2
,可求得△AEF的最大面積為
7
3
12
+
3
8
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵A(2,0),∴OA=2.
作BG⊥OA于G,∵△OAB為正三角形,∴OG=1,BG=
3
.∴B(1,
3
).
連AC,∵∠AOC=90°,∠ACO=∠ABO=60°,∴OC=OAtan30°=
2
3
3

∴C(0,
2
3
3
).

(2)∵∠AOC=90°,∴AC是圓的直徑,
又∵CD是圓的切線,∴CD⊥AC.∴∠OCD=30°,OD=OCtan30°=
2
3

D(-
2
3
,0)

設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0),
b=
2
3
3
0=-
2
3
k+b
,解得
k=
3
b=
2
3
3

∴直線CD的函數(shù)解析式為y=
3
x+
2
3
3


(3)∵AB=OA=2,OD=
2
3
,CD=2OD=
4
3
,BC=OC=
2
3
3
,
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)6+
2
3
3

設(shè)AE=t,△AEF的面積為S,
AF=3+
3
3
-t
S=
1
2
AF•AEsin60°=
3
4
t(3+
3
3
-t)

S=
3
4
t(3+
3
3
-t)=
3
4
[-(t-
9+
3
6
)
2
+
7
3
+
3
2
]

∴當(dāng)t=
9+
3
6
時(shí),Smax=
7
3
12
+
3
8

∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AB,AD上,
0≤t≤2
0≤3+
3
3
-t≤2+
2
3
,解得
1+
3
3
≤t≤2

t=
9+
3
6
滿足
1+
3
3
≤t≤2
,
∴△AEF的最大面積為
7
3
12
+
3
8
點(diǎn)評(píng):主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上,其中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),則△ABC的面積為
 
平方單位.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(3,0),B(t,0)(0<t<
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),以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)E是直線OC與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn)C以外的另一個(gè)交點(diǎn),連接AE與BC相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△OBC≌△FBA;?
(2)一拋物線經(jīng)過O、F、A三點(diǎn),試用t表示該拋物線的解析式;?
(3)設(shè)題(2)中拋物線的對(duì)稱軸l與直線AF相交于點(diǎn)G,若G為△AOC的外心,試求出拋物線的解析式;?
(4)在題(3)的條件下,問在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使該點(diǎn)關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上精英家教網(wǎng)?若存在,請(qǐng)求出所有這樣的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(2,-1),B(1,-3),C(4,-4),
請(qǐng)解答下列問題:
(1)把△ABC向左平移4個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,恰好得到△A1B1C1試寫出△A1B1C1三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出△A1B1C1
(3)求出線段AA1的長(zhǎng)度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上,C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),原來△ABC各個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)都增加2,所得的三角形面積是
5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖的直角坐標(biāo)系中,將△ABC平移后得到△A′B′C′,它們的個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)如表所示:
△ABC A(a,0) B(3,0) C(5,5)
△A′B′C′ A′(4,2) B′(7,b) C′(c,d)
(1)觀察表中各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化,并填空:△ABC向
平移
4
4
個(gè)單位長(zhǎng)度,再向
平移
2
2
個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到△A′B′C′;
(2)在坐標(biāo)系中畫出△ABC及平移后的△A′B′C′;
(3)求出△A′B′C′的面積.

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