Question

如圖是用一塊邊長(zhǎng)為60cm 的正方形薄鋼片制作的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子。

（1）如果要做成一個(gè)沒有蓋的長(zhǎng)方體盒子，可先在薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形（如圖甲），然后把四邊折合起來（如圖乙）。
  ①求做成的盒子底面積y（cm²）與截去小正方形邊長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式；  
②當(dāng)做成的盒子的底面積為900cm²時(shí)，試求該盒子的容積。
（2）如果要做成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，其制 作方案要求同時(shí)符合下列兩個(gè)條件：  
①必須在薄鋼片的四個(gè)角上各截去一個(gè)四邊形；（其余部分不能裁截）  
②折合后薄鋼片既無空隙、又不重疊地圍成各盒面，請(qǐng)你畫出符合上述制作方案的一種草案  （不必說明畫法與根據(jù)），并求當(dāng)?shù)酌娣e為800cm²時(shí)，該盒子的高。

Answer 1

（1 ）①所求的函數(shù)關(guān)系為y= （60-2x）²； 
②當(dāng)y=900 時(shí)，（60-2x）²=900，
解得x₁=15，x₂=45 ，
∵0<x<30
∴x₂=45不合題意舍去，
∴x=15，
∴容積V=900×15=13500（cm³）。
（2）符合制作方案的一種草圖如圖（1 ）所示（圖中陰影部分為底與蓋，且S_I=SI_I）：在鋼片的四個(gè)角上分別截去兩個(gè)相同的小正方形與兩個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，然后沿虛線折合起來即可，設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)、小長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)xcm ，
依題意得：，（30-x）²=400，
解得x₁=10，x₂=50
∵0<x<30
∴x₂=50不合題意舍去，
∴x=10，即做成的有蓋盒子的高為10cm。