【題目】某八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探究.

1)如圖1ABC的兩內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E,求證:∠BEC=90°+A

2)如圖2,ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與ABC的外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)E,請(qǐng)寫(xiě)出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系,并證明.

3)如圖3,ABC的兩外角∠DBC與∠BCF的平分線交于點(diǎn)E,請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系,不需證明.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)∠A=2E,證明見(jiàn)解析;(3)∠E=90°-A

【解析】

1)先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EBC=ABC,∠ECB=ACB,再由三角形內(nèi)角和定理得出∠BEC+EBC+ECB=180°,利用等量代換即可得出結(jié)論;

2)先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EBC=ABC,∠ECM=ACM,再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

1)∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB

∴∠EBC=ABC,∠ECB=ACB,

∴∠BEC+EBC+ECB=180°,

∴∠BEC=180°-(∠EBC+ECB

=180°- ABC+ACB=180°-(∠ABC+ACB

=180°-180°-A

=180°-90°+A

=90°+A

2)∵BE是∠ABC的平分線,CE是∠ACM的平分線,

∴∠EBC=ABC,∠ECM=ACM

∵∠ACMABC的外角,∠ECMBCE的外角,

∴∠ACM=A+ABC,∠ECM=BEC+EBC

∴∠ECM=ACM=(∠A+ABC=BEC+EBC,即A+EBC=BEC+EBC,

∴∠A=2BA=2C,即∠A=2E;

3)結(jié)論∠E=90°-A

∵∠CBD與∠BCFABC的外角,

∴∠CBD=A+ACB,∠BCF=A+ABC,

BECE分別是∠ABC與∠ACB的平分線,

∴∠EBC=(∠A+ACB),∠ECB=(∠A+ABC).

∵∠EBC+ECB+E=180°,

∴∠E=180°-EBC-ECB

=180°-(∠A+ACB-(∠A+ABC),

=180°-A-(∠A+ABC+ACB),

=180°-A-90°

=90°-A

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】請(qǐng)借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),探索函數(shù)y=+2的圖象和性質(zhì).

(1)自變量x的取值范圍為   ;

(2)填寫(xiě)下表,畫(huà)出函數(shù)的圖象

x

﹣5

﹣4

﹣3

﹣2

﹣1

0

2

3

4

5

6

7

y

1

0.8

0.5

﹣1

﹣4

8

(3)觀察圖象,寫(xiě)出該函數(shù)兩條不同類(lèi)型的性質(zhì);

(4)若x>3,則y的取值范圍為   ;若y<﹣1,則x的取值范圍為   

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A. 4B. 3C. 2D. 1

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①a=1;②若函數(shù)yx的增大而減小,則x的取值范圍一定是x<0;

若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是k>1;

M(m1,n),N(m2,n),P(m3,n),Q(m4,n)(n>0)是上述函數(shù)圖象的四個(gè)不同點(diǎn),且m1<m2<m3<m4,則有m2+m3﹣m1=m4.其中正確的結(jié)論有( 。

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

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(1)寫(xiě)出△AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo):_____

(2)將△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是_____

(3)將△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OBD,則旋轉(zhuǎn)角可以是_____

(4)連接AD,交OC于點(diǎn)E,求∠AEO的度數(shù).

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A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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問(wèn)點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的俯角為_(kāi)_______,并求點(diǎn)的海拔;

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為了方便上下山,若在之間架設(shè)一條鋼纜,求鋼纜的長(zhǎng)度.

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