Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC=BC，弦CD與AB交于E，AB=CD，過A作AF⊥BC于F.

（1）判斷AC與BD的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：AC=2CF+BD；

（3）若S△CFA=S△CBD，求tan∠BDC的值.

Answer 1

【答案】（1）AC∥BD，見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接BD和AD，根據(jù)圓心角、弦和圓心角的關(guān)系，即可判斷.

（2）在BC上找一點(diǎn)M，使得BM=BD，根據(jù)圓周角定理判斷出AD和AC的關(guān)系，然后根據(jù)三角形全等判斷AD和AM的關(guān)系，從而得出AM=AC，再根據(jù)三線合一，判斷出CF=FM，從而得出結(jié)論.

（3）分別過點(diǎn)B和點(diǎn)C 向AC和DB作垂線，根據(jù)平行線間的距離相等，得出BN=CG，再根據(jù)兩三角形面積相等，即可判斷出BD和CF的關(guān)系，再結(jié)合第（2）問，可以得出F點(diǎn)是BC的三等分點(diǎn)，然后設(shè)出CF的邊長為m，用m將AF和BF表示出來，根據(jù)圓周角定理及其推論得出∠CDB=∠ABF，然后代入即可計(jì)算.

解：（1）AC∥BD.

連接AD，BD，

∵AB=CD,

∴∠CAD=∠CBD,

又∵∠DAB=∠BCD，

∴∠CAB=∠ACD，

∵∠CAB=∠CDB

∴∠ACD=∠CDB

∴AC∥BD.

（2）在BC上找一點(diǎn)M，使BM=BD，

連接AM，AD

∵AC∥BD，

∴∠ACD=∠CDB，

∴AD=BC，

又∵AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠ABD=∠ABM，

∵BA=BA

∴△AMB≌ADB，

∴AM=AD，

∴AM=AC

又∵AF⊥BC，

∴CF=FM

∵BC=CF+FM+MB=2CF+MB=2CF+BD

∵AC=BC，

∴AC=2CF+BD.

過B點(diǎn)向AC做垂線，垂足為N，

連接DB并延長DB，過C點(diǎn)向DB作垂線，與DB延長線交于點(diǎn)G，由圖可知CG即為

△CBD的高.

∵AC=BC，

∴BD=AF，

∵AC∥DB，

∴BN=CG，

∴BN=CG，

AF=CG，

又∵S△CFA=S△CBD，

∴BD=CF，

∵BC=2CF+BD.

∴BC=3CF，

設(shè)CF為m，則AC=3m，BF=BC-CF=2m，

∵AC=BC,

∴∠BDC=∠ABF