【題目】已知:在ABC中,BA=BC,BDABC的中線,ABC的角平分線AEBD于點(diǎn)F,過點(diǎn)CAB的平行線交AE的延長線于點(diǎn)G

1)如圖1,若∠ABC=60°,求證:AF=EG;

2)如圖2,若∠ABC=90°,求證:AF=EG;

3)在(2)的條件下如圖3,過點(diǎn)A作∠CAH=FAC,過點(diǎn)BBMACAG于點(diǎn)M,點(diǎn)NAH上,連接MN、BN,若∠BMN+EAH=90°,,求BN的長.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(36.

【解析】

1)先判斷出ABC是等邊三角形,設(shè)DF=a,表示出AF、EF,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠G=CAE=30°,表示出GE,然后相比即可;

2)取EG的中點(diǎn)P,連接CF、CP,根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE=FAC=22.5°,根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱性可得AF=CF,然后求出∠CFP=45°,再求出∠ECG=90°,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CP=GP=EG,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠G=BAE=22.5°,再求出∠CPF=45°,根據(jù)等角對(duì)等邊可得CF=CP,從而得到AF=CP,AF=EG,整理即可得證;

3)過點(diǎn)BBKAMK,過點(diǎn)MMLAHH,先求出∠EAH=30°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠AML=BMN=60°,然后求出∠BMK=NML,再求出∠BAE=BME=22.5°,根據(jù)等角對(duì)等邊可得AB=BM,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得MK=AM,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ML=AM,從而得到MK=ML,再利用角邊角證明BMKNML全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=BM,再根據(jù)等腰直角三角形的面積求出AB,再判斷出BMN是等邊三角形,然后求解即可.

1)證明:∵BA=BC,∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

設(shè)DF=a

BDABC的中線,AEABC的角平分線,

AF=2a,EF=a,

CGAB,

∴∠G=CAE=CAE=30°,

GE=AE=AF+EF=2a+a=3a

AF=EG;

2)證明:取EG的中點(diǎn)P,連接CF、CP

BA=BC,∠ABC=90°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

AF=CF,

AFABC的角平分線,

∴∠BAE=FAC=22.5°

∴∠CFP=45°,

CGAB,

∴∠ECG=ABC=90°,

CP=GP=EG

CGAB,

∴∠G=BAE=22.5°,

∴∠CPF=45°,

CF=CP,

AF=EG;

3)過點(diǎn)BBKAMK,過點(diǎn)MMLAHH,

∵∠CAH=FAC,

∴∠EAH=22.5°+×22.5°=30°,

∴∠AML=90°-30°=60°,

∵∠BMN與∠EAH互余,

∴∠BMN=90°-30°=60°,

∴∠BMK=NML,

AEABC的平分線,CGAB,

∴∠BAE=BME=×45°=22.5°,

AB=BM,

MK=AM,

∵∠MAH=30°MLAH,

MH=AM,

MK=ML,

BMKNML中,

∴△BMK≌△NMLASA),

MN=BM

MN=AB,

∵△ABC的面積為18,

AB2=18,

AB=6,

∵∠BMN=60°BM=MN,

∴△BMN是等邊三角形,

BN=MN=6

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1)求證:∠EMF90°

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(1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo);

(2)點(diǎn) P AC延長線上一點(diǎn),過 P PQx軸交 BC 的延長線于點(diǎn) Q ,若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為t,線段PQ的長為d,請(qǐng)用含t的式子表示d;

(3) 在(2)的條件下,當(dāng)PA=d時(shí),E是線段CQ上一點(diǎn),連接OE,BP,若OE=BP,求∠APB-OEB的度數(shù)..

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1)求證:ABCD

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