Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn).求證：；

（模型應(yīng)用）

（2）已知直線：與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線，如圖2，求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖3，長(zhǎng)方形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)、分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限.若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）y＝7x21；（3）D（4，2）或（，）.

【解析】

（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定；

（2）①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過(guò)C作CD⊥y軸于D，根據(jù)△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（4，7），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；

（3）根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y＝2x＋6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，2x＋6），分別根據(jù)△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可．

解：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，

∴∠ACD＝∠EBC，

在△ACD與△CBE中，，

∴（AAS）；

（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過(guò)C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD＝AO，CD＝OB，

∵直線l1：y＝x＋4中，若y＝0，則x＝3；若x＝0，則y＝4，

∴A（3，0），B（0，4），

∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，

∴OD＝4＋3＝7，

∴C（4，7），

設(shè)l2的解析式為y＝kx＋b，則，

解得：，

∴l2的解析式為：y＝7x21；

（3）D（4，2）或（，）．

理由：當(dāng)點(diǎn)D是直線y＝2x＋6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，如圖，過(guò)D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交BC于F，

設(shè)D（x，2x＋6），則OE＝2x6，AE＝6（2x6）＝122x，DF＝EFDE＝8x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF＝AE，即：122x＝8x，

解得x＝4，

∴2x＋6＝2，

∴D（4，2），

此時(shí)，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合題意；

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，如圖，過(guò)D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設(shè)D（x，2x＋6），則OE＝2x6，AE＝OEOA＝2x66＝2x12，DF＝EFDE＝8x，

同理可得：△ADE≌△DPF，則AE＝DF，即：2x12＝8x，

解得x＝，

∴2x＋6＝，

∴D（，），

此時(shí)，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PFBF＝＜6，符合題意，

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2）或（，）