Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A（3，0），B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），過C作直線l，與拋物線相交于點(diǎn)D（5，8），與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)P（m，n）為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)G，設(shè)線段PG的長度為d
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)0＜m＜5時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示d，求出d的最大值；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使以M，N，P，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)C、A的坐標(biāo)代入解析式求得b，c的值，即可得解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線CD的解析式，求出當(dāng)x=m時(shí)，拋物線上的點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，求得距離d的函數(shù)關(guān)系式，然后求其最大值；
（3）根據(jù)PG垂直x軸，可得PG∥MN，得出只要PG=MN，四邊形MNPG即為平行四邊形，分別求出當(dāng)P在G的上面和下面時(shí)符合PG=MN的P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)C（0，3），A（3，0），
∴

c=3 9+3b+c=0

，
解得：

b=-4 c=3

，
則拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），D（5，8），
∴

b=3 5k+b=8

，
解得：

k=1 b=3

，
則直線的解析式為：y=x+3，
∵點(diǎn)P（m，n）為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴G點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
則G點(diǎn)縱坐標(biāo)為：m²-4m+3，
∴d=（m+3）-（m²-4m+3）=-m²+5m，
當(dāng)0＜m＜5時(shí)，d=-（m-

5

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)m=

5

2

時(shí)，d有最大值

25

4

；

（3）由題可得，對(duì)稱軸為x=2，
則頂點(diǎn)M坐標(biāo)為M（2，-1），
當(dāng)x=2時(shí)，N點(diǎn)縱坐標(biāo)為：2+3=5，
則N點(diǎn)坐標(biāo)為：N（2，5），
∴MN=6，
∵PG垂直x軸，
∴PG∥MN，
要使四邊形MNPG為平行四邊形，
則有PG=MN=6，
當(dāng)P在G上面時(shí)，PG=-m²+5m=6，
解得：m=3或m=2，
當(dāng)m=2時(shí)，
PG與MN重合，不是平行四邊形，故m=2舍去，
當(dāng)m=3時(shí)，n=3+3=6；
當(dāng)P在G下面時(shí)，PG=-（-m²+5m）=6，
解得：m=-1或m=6，
當(dāng)m=-1時(shí)，n=-1+3=2，
當(dāng)m=6時(shí)，n=3+6=9，
綜上所述，P的坐標(biāo)為（3，6），（-1，2），（6，9）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題屬于中考中的壓軸題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，知識(shí)點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題和解答．