Question

已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC+BC=8，CD=2，AE是△ABC的外接圓的直徑，
（1）試說(shuō)明△CBD∽△AEC；
（2）設(shè)AC=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理得出∠ACE=∠CDB，∠E=∠B，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性質(zhì)得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．

解答：（1）證明：連接BC，
∵CD是△ABC中AB邊上的高，
∴∠CDB=90°，
∵AE是△ABC的外接圓的直徑，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠CDB，
∵∠E=∠B，
∴△CBD∽△AEC；

（2）解：∵△CBD∽△AEC，
∴

CD

AC

=

BC

AE

，
∵AC=x，AE=y，AC+BC=8，CD=2，
∴BC=8-x，
∴

2

x

=

8-x

y

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

2

x2+4x；

（3）解：∵y=-

1

2

x2+4x=-

1

2

（x-4）²+8，
∴y的最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)最值求法，得出△CBD∽△AEC是解題關(guān)鍵．