Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B．

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑。
∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。
∴。
∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標(biāo)為（（4，3）。
（2）如圖，設(shè)點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，

∵BC與⊙M相切，AB為直徑，∴AB⊥BC。
∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°。
∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO。
∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCO。
∴，即，解得。
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，6）、C點(diǎn)（，0）分別代入得
，解得。
∴直線l的解析式為y=x+6。
（3）如圖，作ND⊥x軸，連接AE，
∵∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，∴△NOD為等腰直角三角形。
∴ND=OD�！郚D∥OB�！唷鰽DN∽△AOB。
∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=。
∴OD=，ON=ND=。
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。
∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=。
∴BN=10﹣=。
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN。
∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=。
∴OE=ON+NE=+=。

（1）根據(jù)圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點(diǎn)即點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5。
（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，由切線的性質(zhì)得AB⊥BC，由等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，所以，可解得，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定l的解析式。
（3）作ND⊥x軸，連接AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以O(shè)D=，ON=，即可確定N點(diǎn)坐標(biāo)；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，則BN=10﹣=，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計(jì)算即可。