【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動,直線m經(jīng)過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得 ,解得 ,

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3


(2)

解:如圖1,連接BC,過Py軸的平行線,交BC于點M,交x軸于點H,

在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,

∴A點坐標為(﹣1,0),

∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,

∴SABC= ABOC= ×4×3=6,

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴直線BC解析式為y=x﹣3,

設(shè)P點坐標為(x,x2﹣2x﹣3),則M點坐標為(x,x﹣3),

∵P點在第四限,

∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,

∴SPBC= PMOH+ PMHB= PM(OH+HB)= PMOB= PM,

∴當PM有最大值時,△PBC的面積最大,則四邊形ABPC的面積最大,

∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣ 2+

∴當x= 時,PMmax= ,則SPBC= × = ,

此時P點坐標為( ,﹣ ),S四邊形ABPC=SABC+SPBC=6+ = ,

即當P點坐標為( ,﹣ )時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為 ;


(3)

解:如圖2,設(shè)直線m交y軸于點N,交直線l于點G,

則∠AGP=∠GNC+∠GCN,

當△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB,

又∠AGB+∠CGB=180°,

∴∠AGB=∠CGB=90°,

∴∠ACO=∠OBN,

在Rt△AON和Rt△NOB中

∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),

∴ON=OA=1,

∴N點坐標為(0,﹣1),

設(shè)直線m解析式為y=kx+d,把B、N兩點坐標代入可得 ,解得

∴直線m解析式為y= x﹣1,

即存在滿足條件的直線m,其解析式為y= x﹣1


【解析】(1)由B、C兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)連接BC,則△ABC的面積是不變的,過P作PM∥y軸,交BC于點M,設(shè)出P點坐標,可表示出PM的長,可知當PM取最大值時△PBC的面積最大,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積;
(3)設(shè)直線m與y軸交于點N,交直線l于點G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以當△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB=90°,則可證得△AOC≌△NOB,可求得ON的長,可求出N點坐標,利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式.本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及知識點有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等.在(2)中確定出PM的值最時四邊形ABPC的面積最大是解題的關(guān)鍵,在(3)中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多,綜合性較強,特別是第(2)問和第(3)問難度較大.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用拋物線與坐標軸的交點和相似三角形的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.;相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).

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(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點,設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;
(3)如圖2,若M是線段BC上一動點,在x軸是否存在這樣的點Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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那么,當AM∥BN時:

(1)點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關(guān)系,并給予證明;
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組別

分數(shù)段

頻數(shù)(人)

頻率

1

50≤x<60

30

0.1

2

60≤x<70

45

0.15

3

70≤x<80

60

n

4

80≤x<90

m

0.4

5

90≤x<100

45

0.15

請根據(jù)以圖表信息,解答下列問題:

(1)表中m= , n=;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)全體參賽選手成績的中位數(shù)落在第幾組;
(4)若得分在80分以上(含80分)的選手可獲獎,記者從所有參賽選手中隨機采訪1人,求這名選手恰好是獲獎?wù)叩母怕剩?/span>

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