【題目】如圖1,過(guò)等邊三角形ABC邊AB上一點(diǎn)D作DE∥BC交邊AC于點(diǎn)E,分別取BC,DE的中點(diǎn)M,N,連接MN.
(1)發(fā)現(xiàn):在圖1中,= ;
(2)應(yīng)用:如圖2,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),請(qǐng)求出的值;
(3)拓展:如圖3,△ABC和△ADE是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,M,N分別是底邊BC,DE的中點(diǎn),若BD⊥CE,請(qǐng)直接寫出的值.
【答案】(1);(2) ;(3) .
【解析】分析:(1)如圖1中,作DH⊥BC于H,連接AM.只要證明四邊形MNDH時(shí)矩形,即可解決問(wèn)題;
(2)如圖2中,連接AM、AN.只要證明△BAD∽△MAN,利用相似比為即可解決問(wèn)題;
(3)如圖3中,連接AM、AN,延長(zhǎng)AD交CE于H,交AC于O.由△BAD∽△MAN,推出==sin∠ABC,只要證明△ABC時(shí)等腰直角三角形即可解決問(wèn)題.
詳解:(1)如圖1中,作DH⊥BC于H,連接AM.
∵AB=AC,BM=CM,
∴AM⊥BC,
∵△ADE時(shí)等邊三角形,
∴∠ADE=60°=∠B,
∴DE∥BC,
∵AM⊥BC,
∴AM⊥DE,
∴AM平分線段DE,
∵DN=NE,
∴A、N、M共線,
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°,
∴四邊形MNDH時(shí)矩形,
∴MN=DH,
∴==sin60°=,
故答案為.
(2)如圖2中,連接AM、AN.
∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,BM=MC,DN=NE,
∴AM⊥BC,AN⊥DE,
∴=sin60°,=sin60°,
∴=,
∵∠MAB=∠DAN=30°,
∴∠BAD=∠MAN,
∴△BAD∽△MAN,
∴==sin60°=.
(3)如圖3中,連接AM、AN,延長(zhǎng)AD交CE于H,交AC于O.
∵AB=AC,AD=AE,BM=CM,DN=NE,
∴AM⊥BC,AN⊥DE,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠ABC=∠ADE,
∴sin∠ABM=sin∠ADN,
∴=,
∵∠BAM=BAC,∠DAN=∠DAE,
∴∠BAM=∠DAN,
∴∠BAD=∠MAN.
∴△BAD∽△MAN,
∴==sin∠ABC,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵BD⊥CE,
∴∠BHC=90°,
∴∠ACE+∠COH=90°,
∵∠AOB=∠COH,
∴∠ABD+∠AOB=90°,
∴∠BAO=90°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴=sin45°=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且CE=BF.連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.
(1)請(qǐng)判斷:FG與CE的關(guān)系是___;
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明;
(3)如圖3,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫出你的判斷.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B、C、D四個(gè)車站的位置如圖所示,A、B兩站之間的距離AB=a﹣b,B、C兩站之間的距離BC=2a﹣b,B、D兩站之間的距離BD=.
(1)求A、C兩站之間的距離AC.
(2)若A、C兩站之間的距離AC=90km,求C、D兩站之間的距離CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),F(n)=3n+1;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),F(n)=(其中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))……,兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行,例如,取n=24,則:
若n=13,則第2018次“F”運(yùn)算的結(jié)果是( 。
A. 1 B. 4 C. 2018 D. 42018
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由于數(shù)學(xué)課上需要用到科學(xué)計(jì)算器,班級(jí)決定集體購(gòu)買,班長(zhǎng)小明先去文具店購(gòu)買了2個(gè)A型計(jì)算器和3個(gè)B型計(jì)算器,共花費(fèi)90元;后又買了1個(gè)A型計(jì)算器和2個(gè)B型計(jì)算器,共花費(fèi)55元(每次兩種計(jì)算器的售價(jià)都不變)
(1)求A型計(jì)算器和B型計(jì)算器的售價(jià)分別是每個(gè)多少元?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì),班內(nèi)還需購(gòu)買兩種計(jì)算器共40個(gè),設(shè)購(gòu)買A型計(jì)算器t個(gè),所需總費(fèi)用w元,請(qǐng)求出w關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)要求:B型計(jì)算器的數(shù)量不少于A型計(jì)數(shù)器的2倍,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種購(gòu)買方案,使所需總費(fèi)用最低.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在我市實(shí)施“城鄉(xiāng)環(huán)境綜合治理”期間,某校組織學(xué)生開(kāi)展“走出校門,服務(wù)社會(huì)”的公益活動(dòng).八年級(jí)一班王浩根據(jù)本班同學(xué)參加這次活動(dòng)的情況,制作了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:
該班學(xué)生參加各項(xiàng)服務(wù)的頻數(shù)、頻率統(tǒng)計(jì)表:
服務(wù)類別 | 頻數(shù) | 頻率 |
文明宣傳員 | 4 | 0.08 |
文明勸導(dǎo)員 | 10 | |
義務(wù)小警衛(wèi) | 8 | 0.16 |
環(huán)境小衛(wèi)士 | 0.32 | |
小小活雷鋒 | 12 | 0.24 |
請(qǐng)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)圖表,解答下列問(wèn)題:
(1)該班參加這次公益活動(dòng)的學(xué)生共有 名;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)、頻率統(tǒng)計(jì)表和頻數(shù)分布直方圖;
(3)若八年級(jí)共有900名學(xué)生報(bào)名參加了這次公益活動(dòng),試估計(jì)參加文明勸導(dǎo)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,,垂足分別為E,F.
(1)求證:△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90°,求證:四邊形DFAE是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)為1,寬為a的矩形紙片(),如圖那樣折一下,剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形(稱為第一次操作);再把剩下的矩形如圖那樣折一下,剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形(稱為第二次操作);如此反復(fù)操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形為正方形,則操作終止.當(dāng)n=3時(shí),a的值為( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,某校在開(kāi)發(fā)區(qū)一塊寬為120m的矩形用地上新建分校區(qū),規(guī)劃圖紙上把它分成①②③三個(gè)區(qū)域,區(qū)域①和區(qū)域②為正方形,區(qū)域①為教學(xué)區(qū);區(qū)域②為生活區(qū);區(qū)域③為活動(dòng)區(qū),設(shè)這塊用地長(zhǎng)為xm,區(qū)域③的面積為ym2.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量x的取值范圍;
(2)若區(qū)域③的面積為3200m2,那么這塊用地的長(zhǎng)應(yīng)為多少?
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