Question

已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，AF平分∠BAC，DH⊥AF于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G，DH延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E
求證：OG=

1

2

BE．

Answer 1

分析：過(guò)B作BM∥AC交DE的延長(zhǎng)線于M，由AF平分∠BAC，DH⊥AF證△AEH和△AGH全等，推出∠AEH和∠AGH相等，進(jìn)一步推出∠BEM和∠M相等，得到BM=BE，根據(jù)三角形的中位線得到OG=

1

2

BM，即可得到答案．

解答：證明：過(guò)B作BM∥AC交DE的延長(zhǎng)線于M，
∵AF平分∠BAC，DH⊥AF，
∴∠EAH=∠GAH，∠AHE=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH，
∴∠AEH=∠AGH，
∵BM∥AC，
∴∠M=∠AGH，
∵∠AEH=∠BEM，
∴∠BEM=∠M，
∴BM=BE，
∵正方形ABCD，
∴OB=OD，
∵BM∥AC，
∴DG=MG，
∴OG=

1

2

BM=

1

2

BE，
即：OG=

1

2

BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線BM，證出BM=BE．題型較好，比較典型，綜合性強(qiáng)．