Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．

（1）如圖①，若∠P＝35°，連OC，求∠BOC的度數(shù)；

（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）∠BOC＝70°；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接OC．已知AP是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PAB＝90°，再由直角三角形的兩銳角互余求出∠B=55°，最后利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖②中，連接OC，OD，AC．根據(jù)已知條件易證△ODC≌△ODA，由全等三角形的性質(zhì)可得∠OCD＝∠OAD＝90°，由此即可證得結(jié)論.

解：（1）如圖①中，連接OC．

∵PA是⊙O的切線，

∴PA⊥AB，

∴∠PAB＝90°，

∵∠P＝35°，

∴∠B＝55°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠OCB＝55°，

∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°．

（2）如圖②中，連接OC，OD，AC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝∠ACP＝90°，

∵AD＝DP，

∴DC＝DA＝DB，

∵OA＝OC，OD＝OD，

∴△ODC≌△ODA（SSS），

∴∠OCD＝∠OAD＝90°，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切線．