Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）交x軸于A、B兩點（A點在B點左側），交y軸于點C．已知B（8，0），tan∠ABC=，△ABC的面積為8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動直線EF（EF∥x軸）從點C開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸負方向平移，且交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．連接FP，設運動時間t秒．當t為何值時，的值最大，求出最大值；
（3）在滿足（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出A，B，C，三點的坐標代入拋物線y=ax²+bx+c，問題得解．
（2）利用相似三角形得到，和t的關系式問題得解．
（3）因為相似對應的不唯一性，需要討論，分別求出滿足題意的t的值．
解答：解：（1）由題意知∠COB=90°B（8，0）OB=8，
在Rt△OBC中tan∠ABC=OC=OB×tan∠ABC=8×=4，
∴C（0，4），，
∴AB=4，
∴A（4，0）
把A、B、C三點的坐標代入y=ax²+bx+c（a＞0）得，
解得．所以拋物線的解析式為；

（2）C（0，4）B（8，0）E（0，4-t）（t＞0），
OB=2OC=8CE=tBP=2tOP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴，
則有得EF=2t，
=．
當t=2時有最大值2．

（3）存在符合條件的t值，使△PBF與△ABC相似．
C（0，4），B（8，0），E（0，4-t），F(xiàn)（2t，4-t），P（8-2t，0）（t＞0），
AB=4BP=2t，BF=，
∵OC=4，
∴BC=．
①當點P與A、F與C對應，即△PBF∽△ABC，
則，
代入得，
解得；
②當點P與C、F與A對應，即△PBF∽△CBA，
則，
代入得，
解得（不合題意，舍去）．
綜上所述：符合條件的和．
點評：本題考查用一般式求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．體現(xiàn)的數(shù)學思想是分類討論思想．