【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于點(diǎn)A-1,0、B3,0兩點(diǎn),直線y=x-2與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

1求拋物線的解析式:

2若PE=3EF,求m的值;

3連接PC,是否存在點(diǎn)P,使PCE為等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=x2-2x-3;2m=1或m=3m=1±,或.

【解析】

試題分析:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形的性質(zhì),難點(diǎn)在于3判斷出直線CD與y軸的夾角為45°并分情況討論.

1將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線求出a、b,即可得解;

2根據(jù)拋物線解析式與直線解析式表示出點(diǎn)P、E的坐標(biāo),然后表示出PE、EF,再列出絕對(duì)值方程,然后求解即可;

3根據(jù)直線解析式求出直線CD與y軸的夾角為45°,然后分①∠PCE=90°時(shí)表示出PC的解析式,再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可;②∠CPE=90°時(shí),PCx軸,點(diǎn)P與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,然后根據(jù)拋物線解析式求解即可.

試題解析:1把A-1,0、B3,0,兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-3得:,

解得:,

所以,這條拋物線的解析這式為:y=x2-2x-3;

2設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m,則Pm,m2-2m-3,Em,m-2,F(xiàn)m,0

PE=|yE-yP|=|m-2-m2-2m-3|=|-m2+3m+1|,

EF=|-m+2|,

由題意PE=3EF,即:|-m2+3m+1|=3|-m+2|,

若-m2+3m+1=3-m+2,整理得:m

若-m2+3m+1=-3-m+2,整理得:m2-7=0,

解得:m=7或m=-7,

P在x軸下方,

-1<m<3,m=-7不合題意應(yīng)舍去,

m=7,

綜上所述,m=1或m=7;

3存在點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為:m=1-

理由如下:直線y=x-2與y軸的夾角為45°,

PCE=90°時(shí),直線PC的解析式為y=-x-2,

聯(lián)立,

消掉y得,x2-x-1=0,

解得x=,

所以,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=;

②∠CPE=90°時(shí),PCx軸,

點(diǎn)C0,-2

點(diǎn)P與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,為-2,

x2-2x-3=-2,

解得x=1±,

點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),

-1<x<3,

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=1±

綜上所述,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=1±.

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因?yàn)椤?=∠2(已知),且∠1=∠4___________

所以∠2=∠4(等量代換)

所以CE∥BF___________

所以∠___=∠3_________________

又因?yàn)椤螧=∠C(已知)

所以∠3=∠B(等量代換)

所以AB∥CD______________________

(2)如圖,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.求證:∠E=∠DFE.

證明:∵∠B+∠BCD=180°( 已知。,

∴AB∥CD __________

∴∠B= ___________________________

又∵∠B=∠D( 已知。,

_____= ∠__________ ( 等量代換 )

∴AD∥BE_____________________

∴∠E=∠DFE_____________________

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