Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，旋轉(zhuǎn)角為ɑ（0°＜ɑ＜90°），連接BB1 ． 設(shè)CB1交AB于點(diǎn)D，A1B1分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：△BCD≌△A1CF；
（2）若旋轉(zhuǎn)角ɑ為30°，
①請你判斷△BB1D的形狀；
②求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC．

∵△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，

∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．

∴∠A1=∠CBD，A1C=BC．

在△CBD與△CA1F中，

，

∴△BCD≌△A1CF（ASA）

（2）

解：①△BB1D是等腰三角形，理由如下：

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°．

又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=B1C，則∠CB1B=∠CBB1，

∴∠CB1B=∠CBB1= = =75°．

∴∠B1BD=∠CBB1﹣∠CBA=75°﹣45°=30°，

∴∠BDB1=480°﹣75°﹣30°=75°，

∴∠BDB1=∠CB1B=∠DB1B=75°，

∴BD=BB1，

∴△BB1D是等腰三角形．

②如圖，過D作DG⊥BC于G，設(shè)DG=x，

∵ɑ=30°，∠DBE=45°，

∴BG=x，CG= x，

∴ x+x=1，

解得x= ，

故CD=2x= ﹣1．

【解析】（1）根據(jù)已知條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，來判定三角形全等．（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到△BB1D是等腰三角形；②如圖，過D作DG⊥BC于G，設(shè)DG=x，通過解直角三角形和已知條件BC=1列出關(guān)于x的方程，通過解方程求得x的值，然后易得CD=2x．