Question

【題目】已知二次函數L與y軸交于點C(0，3)，且過點(1，0)，(3，0)．

(1)求二次函數L的解析式及頂點H的坐標

(2)已知x軸上的某點M(t，0)；若拋物線L關于點M對稱的新拋物線為L′，且點C、H的對應點分別為C′，H′；試說明四邊形CHC′H′為平行四邊形．

(3)若平行四邊形的邊與某一條對角線互相垂直時，稱這種平行四邊形為“和諧四邊形”；在(2)的條件下，當平行四邊形CHC′H′為“和諧四邊形”時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） y=x2﹣4x+3，(2,﹣1)；（2）見解析；（3） t=或4或﹣6

【解析】

（1）利用待定系數法可求解析式，由配方法可求頂點坐標；

（2）由中心對稱的性質可得CM=C'M，HM=H'M，可得結論；

（3）分四種情況討論，由兩點距離公式和一次函數的性質可求解．

（1）設二次函數L的解析式為：y=ax2+bx+c(a≠0)

由題意可得：

解得：

∴二次函數L的解析式為：y=x2﹣4x+3，

∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1，

∴頂點H的坐標(2,﹣1)

故答案為：y=x2﹣4x+3，(2,﹣1)

（2）

∵若拋物線L關于點M對稱的新拋物線為L′，且點C、H的對應點分別為C′，H′；

∴CM=C'M，HM=H'M，

∴四邊形CHC′H′為平行四邊形；

（3）∵點C(0,3)，點H(2,﹣1)

∴直線CH解析式為：y=﹣2x+3；

若CC'⊥CH時，則CC'解析式為：

當y=0時，

∴t=﹣6；

若HH'⊥CH時，則HH'解析式為：

當y=0時，

∴t=4

∵若拋物線L關于點M對稱的新拋物線為L′，且點C、H的對應點分別為C′，H′；

∴點C'(2t，﹣3)，點H'(2t﹣2，1)

若CH'⊥HH'，則H'C2+H'H2=CH2，

∴(2t﹣2﹣0)2+(3﹣1)2+(2t﹣2﹣2)2+(1+1)2=(0﹣2)2+(3+1)2，

∴t=

若CC'⊥CH'，則H'C2+C'C2=C'H'2，

∴(2t﹣2﹣0)2+(3﹣1)2+(2t﹣0)2+(3+3)2=(0﹣2)2+(3+1)2，

∴△＜0，方程無解；

綜上所述：t=或4或﹣6．

故答案為：t=或4或﹣6．