Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AE交CD于F，EG⊥AB于G．
（1）求證：△AEG≌△AEC；
（2）△CEF是否為等腰三角形，請證明你的結論；
（3）四邊形GECF是否為菱形，請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形的判定定理HL進行證明；
（2）根據平行線EG∥CD的性質、∠BAC平分線的性質以及等量代換推知∠FEC=∠CFE，易證CF=CE，即△CEF是等腰三角形；
（3）四邊形GECF是菱形．根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分線，
∴GE=CE．
在Rt△AEG與Rt△AEC中，

GE=CE AE=AE

，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；

（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：
∵CD是AB邊上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；

（3）解：四邊形GECF是菱形．理由如下：
∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，則GE=EC；由（2）知，CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四邊形GECFR是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質等知識點．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．