Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂都過(guò)點(diǎn)A，AO₁是⊙O₂的切線，⊙O₁交O₁O₂于點(diǎn)B，連接AB并延長(zhǎng)交⊙O₂于點(diǎn)C，連接O₂C．
（1）求證：△O₂CB是直角三角形；
（2）證明：

AB

O2B

=

2BO1

BC

．

Answer 1

分析：（1）⊙O₁與⊙O₂都過(guò)點(diǎn)A，AO₁是⊙O₂的切線，可證O₁A⊥AO₂，又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B可證O₂C⊥O₂B，故可證．
（2）延長(zhǎng)O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)D連接AD，可證∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，三角形相似，進(jìn)而證明出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AO₁是⊙O₂的切線，
∴O₁A⊥AO₂，
∴∠O₂AB+∠BAO₁=90°，
又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B，
∴∠O₂CB=∠O₂AB，
∠O₂BC=∠ABO₁=∠BAO₁，
又∠O₂CB+∠O₂BC=∠O₂AB+∠BAO₁=90°
∴O₂C⊥O₂B，即O₂C⊥O₁O₂，
∴△O₂CB是直角三角形；

（2）延長(zhǎng)O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)D，連接AD．
∵BD是⊙O₁直徑，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，

O2B

AB

=

BC

BD

，
∴AB•BC=O₂B•BD又BD=2BO₁，
∴AB•BC=O₂B•2BO₁．
∴

AB

O2B

=

2BO1

BC

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定，此題比較繁瑣，做題時(shí)應(yīng)該細(xì)心．