Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AB=2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD，取CD的中點E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

取點D的特殊位置：當點D與點F重合時，當點D在CA延長線與圓A的交點時，當CD與圓A相切時，確定FE的長度都是0.5，從而得到點E的運動軌跡是以點F為圓心，0.5為半徑的圓上運動，故而得到線段BE的最大值與最小值，由此得到答案．

∵△ABC為等邊三角形，AB=2，

∴AC=AB=2，

設AC交圓A于點F，

∵點D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，

∴當點D與點F重合時，如圖1，FE=0.5，

當點D在CA延長線與圓A的交點時,如圖2，FE=0.5，

當CD與圓A相切時，FE=0.5，

故點E在以點F為圓心，0.5為半徑的圓上運動，

當點B、F、E三點共線時，線段BE有最大值和最小值，如圖4：

∵AF=1，AC=2，

∴FC=1，

∴點F是AC的中點，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BF⊥AC，

∴BF= ，

線段BE的最大值=，最小值=，

∴線段BE的最大值與最小值之和為，

故答案為：．