Question

已知梯形AOCD在直角坐標系中的位置如圖1所示，其中AD∥OC，AO⊥OC，且CD=5，若C點的坐標為C（5，0），tan∠DCO=
（1）求D點的坐標及過C、D、O三點的拋物線解析式；
（2）動點P在線段OA上自O點出發(fā)向A點運動，速度為每秒1個單位，同時動點Q自A點出發(fā)以相同的速度，沿折線A-D-C運動，當其中一點到達終點時另一點也立即停止運動．設△APQ的面積為S，求S與運動時間t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍．
（3）當（2）中的S取最大值時，過Q作QE⊥x軸于E，此時，拋物線上是否存在點M，使S_△OPM=S_△QEM？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)tan∠DCO=，以及CD=5，得出DE=4，CE=3，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．
（2）根據(jù)0＜x≤2 時，以及2＜x≤4時，分別得出即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)最值以及三角形面積求法得出即可．
解答：解：（1）作DE⊥CO，
∵CD=5，C點的坐標為C（5，0），
tan∠DCO=，
∴=，
∴DE=4，CE=3，
∴AD=2，
∴D（2，4），
將O（0，0），D（2，4），C（5，0）代入解析式：
，
解得：．
∴y=-x²+x；

（2）0＜x≤2 時，
S=（4-t）t=-t²+2t，
2＜x≤4時，
S=-（ t-）²+=-t²+t+；

（3）∵t=2時，S_最大=2，
當S_△OPM=S_△QEM，PO=2，DE=4，
∴PM=2AD=4，
∴M₁（4，），
同理可得 M₂（，）．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和三角形面積求法等知識，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．