(2012•長寧區(qū)二模)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD,垂足為點O,過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E.
(1)求證:△BDE是等腰直角三角形;
(2)已知sin∠CDE=
5
5
,求AD:BE的值.
分析:(1)推出平行四邊形ACED,根據(jù)等腰梯形性質得出AC=DE=BD,得出等腰三角形,根據(jù)平行線性質求出∠BOC=∠BDE=90°,即可得出答案;
(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理得出
AC
OC
=
BD
OB
,根據(jù)等腰三角形性質得出AC=BD,推出OC=OB,OA=OD,根據(jù)平行線得出sin∠CDE=sin∠DCO=
5
5
,在Rt△DCO中,設OD=k,DC=
5
k 求出OC=2k,平行四邊形的性質求出AD=CE,求出
OD
OB
=
1
2
,求出
AD
BC
的值.即可求出答案.
解答:(1)證明:∵AD∥BE,BE∥AC,
∴ACED是平行四邊形,
∴AC=DE,
∵等腰梯形ABCD,
∴AC=BD,
∴BD=DE     
∵AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∵AC∥DE,
∴∠BOC=∠BDE=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形.

(2)解:∵AD∥BC,
OA
OC
=
OD
OB
=
AD
BC

AC
OC
=
BD
OB

∵等腰梯形ABCD,
∴AC=BD,
∴OC=OB,OA=OD,
∵DE∥AC,
∴∠CDE=∠DCO,
∴sin∠CDE=sin∠DCO=
5
5
,
在Rt△DCO中,設OD=k,DC=
5
k (k>0),則OC=
DC2-OD2
=2k,
∵平行四邊形ACDE,
∴AD=CE,
OD
OB
=
OD
OC
=
1
2
,
AD
BC
=
1
2

AD
BE
=
1
3
點評:本題考查了等腰梯形的性質,平行四邊形的性質和判定,等腰三角形的判定,勾股定理、解直角三角形等知識點,主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力,題目綜合性比較強,有一定的難度.
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