【題目】如圖①,在銳角△ABC中,D,E分別為AB,BC中點(diǎn),F(xiàn)為AC上一點(diǎn),且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于點(diǎn)M.
(1)求證:DM=DA;
(2)點(diǎn)G在BE上,且∠BDG=∠C,如圖②,求證:△DEG∽△ECF;
(3)在圖②中,取CE上一點(diǎn)H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的長(zhǎng).
【答案】
(1)
證明:如圖1所示,
∵DM∥EF,
∴∠AMD=∠AFE,
∵∠AFE=∠A,
∴∠AMD=∠A,
∴DM=DA;
(2)
證明:如圖2所示,
∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),
∴DE∥AC,
∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,
∵∠AFE=∠A,
∴∠BDE=∠AFE,
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,
∵∠BDG=∠C,
∴∠DGE=∠FEC,
∴△DEG∽△ECF;
(3)
解:如圖3所示,
∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,
∴△BDG∽△BED,
∴,
∴BD2=BGBE,
∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH,
又∵∠FEH=∠CEF,
∴△EFH∽△ECF,
∴,
∴EF2=EHEC,
∵DE∥AC,DM∥EF,
∴四邊形DEFM是平行四邊形,
∴EF=DM=DA=BD,
∴BGBE=EHEC,
∵BE=EC,
∴EH=BG=1.
【解析】(1)證明∠A=∠DMA,用等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論;
(2)由D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),可知DE∥AC,于是∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,又∠A=∠AFE,∠AFE=∠C+∠FEC,根據(jù)等式性質(zhì)得∠FEC=∠GDE,根據(jù)有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可證;
(3)通過(guò)證明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF,可得BGBE=EHEC,又BE=EC,所以EH=BG=1.
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)D在邊BC上.若DE=DF,AD=2,BC=6,求四邊形AEDF的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上,若AM:MB=AN:ND=1:2.則 cos∠MCN= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在9×9的正方形網(wǎng)格中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,2),畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行,寫(xiě)出點(diǎn)B、C關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)B1、C1的坐標(biāo);
(3)直接寫(xiě)出BC上一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次初中生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,根據(jù)參加男子跳高初賽的運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位:m),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問(wèn)題:
(1)①中a的值為;
(2)統(tǒng)計(jì)的這組初賽成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位);
(3)據(jù)這組初賽成績(jī),由高到低確定7人進(jìn)入復(fù)賽,請(qǐng)直接寫(xiě)出初賽成績(jī)?yōu)?.60m的運(yùn)動(dòng)員能否進(jìn)入復(fù)賽.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2﹣4x與x軸交于O,A兩點(diǎn),P為拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q
(1)這條拋物線的對(duì)稱軸是 ,直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是 .
(2)若兩個(gè)三角形面積滿足S△POQ=S△PAQ , 求m的值
(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí),過(guò)點(diǎn)C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D,求:①PD+DQ的最大值;②PDDQ的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注,東營(yíng)市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校園安全知識(shí)的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如圖兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生共有 人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為 ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到了“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),且AB=18cm,AC=4CD.
(1)圖中共有 條線段;
(2)求AC的長(zhǎng);
(3)若點(diǎn)E在直線AB上,且EA=2cm,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的邊AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,已知AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P、Q分別在邊AB、BC上,且點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合,BQ=kAP(k>0),聯(lián)接PC、PQ.
(1)求⊙O的半徑長(zhǎng);
(2)當(dāng)k=2時(shí),設(shè)AP=x,△CPQ的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;
(3)如果△CPQ與△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.
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