(附加題:如果你的全卷得分不足150分,則本題的得分記入總分,但記入總分后全卷得分不得超過150分,超過按150分算.)
如圖是二次函數(shù)y=-x2+2的圖象在x軸上方的一部分,若這段圖象與x軸所圍成的陰影部分面積為S,試求出S取值的一個范圍.

【答案】分析:由于陰影部分為拋物線和坐標軸構(gòu)成,初中階段沒有公式可利用,只能利用“(1)S在△ABC面積與過A、B、C三點的⊙O半圓面積之間,(2)這段圖象在圖示半徑為、2的兩個半圓所夾的圓環(huán)內(nèi)”的特點來進行估算其取值范圍.
解答:解:
方法一:
由題意,可知這段圖象與x軸的交點為A(-2,0)、B(2,0),與y軸的交點為C(0,2).(2分)
顯然,S在△ABC面積與過A、B、C三點的⊙O半圓面積之間.(3分)
∵S△ABC=4,(4分)
S⊙O=2π,(5分)
∴4<S<2π.(6分)
說明:關于半圓⊙O的面積大于圖示陰影部分面積的證明,如下(對學生不要求):
設P(x,y)在圖示拋物線上,則
OP2=x2+y2=(4-2y)+y2=(y-1)2+3.
∵0≤y≤2,
∴3≤OP2≤4.
∴點P在半圓x2+y2=3、x2+y2=4所夾的圓環(huán)內(nèi),以及點P為內(nèi)圓周點(,1)與外圓周點A、B、C.
∴半圓⊙O的面積大于圖示陰影部分的面積.
由于內(nèi)半圓的面積為S⊙O-
<S<2π.
如果學生能得出此結(jié)論,可在上面結(jié)論基礎上,加(4分).
方法二:
由題意,可知這段圖象與x軸的交點為A(-2,0)、B(2,0),與y軸的交點為C(0,2).(2分)
顯然,這段圖象在圖示半徑為、2的兩個半圓所夾的圓環(huán)內(nèi),以及過內(nèi)半圓上點
P(,1)與半外圓上點A、B、C.(5分)
∴S在圖示兩個半圓面積之間.(7分)
π•(2<S<π•22.(9分)
<S<2π.(10分)
點評:此題考查了同學們的估算能力,用不同的圖形為標準可得到不同的取值范圍,有利于培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新思維能力.當以后學習了積分,可直接求的陰影部分的準確值.
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