【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是邊CD上一點,將△ADM沿直線AM對折,得到△ANM

1)當AN平分∠MAB時,求DM的長;

2)連接BN,當DM=1時,求△ABN的面積;

3)當射線BN交線段CD于點F時,求DF的最大值

【答案】(1)DM=;(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)由折疊性質(zhì)得∠MAN=∠DAM,證出∠DAM=∠MAN=∠NAB,由三角函數(shù)得出DM=ADtan∠DAM=即可;

(2)延長MN交AB延長線于點Q,由矩形的性質(zhì)得出∠DMA=∠MAQ,由折疊性質(zhì)得出∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,得出∠MAQ=∠AMQ,證出MQ=AQ,設NQ=x,則AQ=MQ=1+x,證出∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得出方程,解方程求出NQ=4,AQ=5,即可求出△ABN的面積;

(3)過點A作AH⊥BF于點H,證明△ABH∽△BFC,得出對應邊成比例,得出當點N、H重合(即AH=AN)時,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此時點M、F重合,B、N、M三點共線,由折疊性質(zhì)得:AD=AH,由AAS證明△ABH≌△BFC,得出CF=BH,由勾股定理求出BH,得出CF,即可得出結(jié)果.

試題解析:(1)由折疊性質(zhì)得:△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM,∵AN平分∠MAB,∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,∴DM=ADtan∠DAM=3×tan30°==;

(2)延長MN交AB延長線于點Q,如圖1所示,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ,由折疊性質(zhì)得:△ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ,設NQ=x,則AQ=MQ=1+x,∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得:,,解得:x=4,∴NQ=4,AQ=5,∵AB=4,AQ=5,∴S△NAB===ANNQ=;

(3)過點A作AH⊥BF于點H,如圖2所示,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠HBA=∠BFC,∵∠AHB=∠BCF=90°,∴△ABH∽△BFC,∴,∵AH≤AN=3,AB=4,∴當點N、H重合(即AH=AN)時,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此時點M、F重合,B、N、M三點共線,如圖3所示:

由折疊性質(zhì)得:AD=AH,∵AD=BC,∴AH=BC,在△ABH和△BFC中,∵∠HBA=BFC,AHB=BCF,AH=BC,∴△ABH≌△BFC(AAS),∴CF=BH,由勾股定理得:BH=,∴CF=,∴DF的最大值=DC﹣CF=

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