Question

【題目】如圖①，雙曲線y＝（k≠0）和拋物線y＝ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三點(diǎn)，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直線CO交雙曲線于另一點(diǎn)D，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)E．

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）拋物線在第一象限部分是否存在點(diǎn)P，使得∠POE+∠BCD＝90°？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖②，過(guò)B作直線l⊥OB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于點(diǎn)F，BD與OF交于點(diǎn)N，求的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：，雙曲線的解析式為：y＝．（2）存在點(diǎn)P（，1），使得∠POE+∠BCD＝90°．（3）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx（a≠0）過(guò)B（3，1），C（﹣1，﹣3），代入計(jì)算即可得到拋物線的解析式. 把B（3，1）代入y＝（k≠0）計(jì)算可得雙曲線的解析式.

（2）根據(jù)B、C點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算BC所在的直線方程，根據(jù)直線方程可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，因此可計(jì)算的OM的長(zhǎng)度，再計(jì)算BO、CO的長(zhǎng)度，可得tan∠COM，根據(jù)等量替換可得tan∠POE，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可表示縱坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算的P點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）首先根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算CO所在直線的解析式，再根據(jù)CO所在的直線與雙曲線的交點(diǎn)為D，計(jì)算D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算OB所在直線的斜率，進(jìn)而計(jì)算直線l的解析式，再根據(jù)直線l和DF所在的直線交點(diǎn)為F，計(jì)算點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算DF的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似比例可得.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）過(guò)B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x，

把B（3，1）代入y＝（k≠0）得：1＝，

解得：k＝3，

∴雙曲線的解析式為：y＝．

（2）存在點(diǎn)P，使得∠POE+∠BCD＝90°；

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），設(shè)直線BC為y＝kx+n，

∴ ，

解得k＝1，n＝﹣2，

∴直線BC為：y＝x﹣2，

∴直線BC與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（2，0），（0，﹣2），

過(guò)O作OM⊥BC，則OM＝，

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴OB＝OC＝，

∴BM＝

∴tan∠COM＝，

∵∠COM+∠BCD＝90°，∠POE+∠BCD＝90°，

∴∠POE＝∠COM，

∴tan∠POE＝2，

∵P點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P（m，﹣m2+m），

∴ ，

解得：m＝，

∴P（，1）．

綜上所述，存在點(diǎn)P（，1），使得∠POE+∠BCD＝90°．

（3）∵直線CO過(guò)C（﹣1，﹣3），

∴直線CO的解析式為y＝3x，

解 ，

解得，

∴D（1，3），

∵B（3，1），

∴直線OB的斜率＝ ，

∵直線l⊥OB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于點(diǎn)F，

∴DF∥OB，

∴直線l的斜率＝﹣3，直線DF的斜率＝ ，

∵直線l過(guò)B（3，1），直線DF過(guò)D（1，3），

∴直線l的解析式為y＝﹣3x+10，直線DF解析式為y＝x+，

解 ，

解得 ，

∴F（，），

∴DF＝＝ ，

∵DF∥OB，OB＝ ，

∴△DNF∽△BNO，

∴ ．