Question

19．如圖，已知等腰三角形△ABC，底角∠B=40°，CE是∠ACB的平分線，D是底邊BC上一點，滿足∠CAD=20°，若EF=1，則BE=1．

Answer 1

分析 在BC上取一點M，使CM=AC，連接EM，根據(jù)等腰三角形△ABC，底角∠B=40°得出∠BAC=100°，進一步得出∠EAF=100°-20°=80°，∠AEF=180°-100°-20°=60°，通過證得△ACE≌△MCE，得出AE=ME，∠CME=∠BAC=100°，∠AEF=∠CEM=60°從而得出∠EMB=EAF=80°，∠BEM=∠AEF=60°，根據(jù)ASA證得△AEF≌△MEB，得出EB=EF=1．

解答 解：在BC上取一點M，使CM=AC，連接EM，
∵等腰三角形△ABC，底角∠B=40°，
∴∠BAC=100°，∠ACB=∠B=40°，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠ACE=∠BCE=20°，
∵∠CAD=20°，
∴∠EAF=100°-20°=80°，∠AEF=180°-100°-20°=60°，
在△ACE和△MCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACE=∠MCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△MCE（SAS），
∴AE=ME，∠CME=∠BAC=100°，∠AEF=∠CEM=60°，
∴∠EMB=80°，∠BEM=60°，
∴∠EMB=EAF=80°，∠BEM=∠AEF=60°，
在△AEF和△MEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠MEB}\\{AE=EM}\\{∠EAF=∠EMB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△MEB（ASA），
∴EB=EF=1，
故答案為1．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．