【題目】如圖1,拋物線yax2+ca≠0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,0),與y軸交于點(diǎn)C02),點(diǎn)P2t)是該拋物線上一點(diǎn).

1)求此拋物線的解析式及t的值;

2)若點(diǎn)Dy軸上一點(diǎn),線段PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P恰好也落在此拋物線上,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

3)如圖2,直線lykx+b交該拋物線于M、N兩點(diǎn),且滿足MCNC,設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離是d,求d的最大值.

【答案】1y=﹣x2+2,t=﹣2;(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣1)或(0,﹣4);(3)當(dāng)∠RPK0°時(shí),d取得最大值為

【解析】

1)已知拋物線上的點(diǎn)BC坐標(biāo),用待定系數(shù)法即求得解析式;把P的橫坐標(biāo)代入解析式,即求得縱坐標(biāo)t的值;

2)按點(diǎn)P'y軸左側(cè)或右側(cè)畫出兩種情況的圖形,分別作點(diǎn)P、P'y軸的垂線段PE、P'F,易證△DFP'≌△PED,由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,可用含d的式子表示P'FFD,進(jìn)而用d表示點(diǎn)P'的坐標(biāo),即可求解;

3tan∠CNH=tan∠GCM,即:,即:,-x1x2=4-2y1-2y2+y1y2,整理得:b2-3b+2=0,解得:b=1,即可求解.

解:(1拋物線yax2+c過(guò)點(diǎn)B,0)與點(diǎn)C02),

解得:,

拋物線解析式為y=﹣x2+2,

點(diǎn)P2,t)是該拋物線上一點(diǎn),

∴t=﹣4+2=﹣2;

2)過(guò)點(diǎn)PPE⊥y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P'P'F⊥y軸于點(diǎn)F,

∴∠PED∠DFP'90°

∵P2,﹣2),

∴PE2,OE2,

設(shè)D0,d),

d>﹣2,即點(diǎn)D在點(diǎn)P上方,則點(diǎn)P'y軸右側(cè),如圖1,

∴DEd﹣(﹣2)=d+2,

∵PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P'D,

∴∠PDP'90°,PDP'D,

∴∠FDP'+∠PDE∠FDP'+∠DP'F90°,

∴∠PDE∠DP'F,

△DFP'△PED中,,

∴△DFP'≌△PEDAAS),

∴DFPE2,FP'DEd+2,

∴P'd+2,d+2),

點(diǎn)P'也在拋物線上,

﹣(d+22+2d+2

解得:d1=﹣4(舍去),d2=﹣1,

∴D0,﹣1),

d<﹣2,即點(diǎn)D在點(diǎn)P下方,則點(diǎn)P'y軸左側(cè),如圖2,

∴DE=﹣2d

同理可證:△DFP'≌△PED,

∴DFPE2,FP'DE=﹣2d,

∴P'd+2,d+2),

﹣(﹣d22+2d+2,

解得:d1=﹣4,d2=﹣1(舍去),

∴D0,﹣4),

綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣1)或(0,﹣4);

3)設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為:(x1,y1)、(x2、y2),直線ly軸交于點(diǎn)R,

聯(lián)立y=﹣x2+2,ykx+b并整理得:

x2+kx+b2)=0,

x1+x2=﹣k,x1x2b2,

y1kx1+by2kx2+b

故點(diǎn)Cx軸的平行線GH,分別過(guò)點(diǎn)M、Ny軸的平行線交GH于點(diǎn)GH,

∵M(jìn)C⊥NC,∴∠GCM+∠HCN90°,∠HCN+∠CNH90°,

∴∠CNH∠GCM,

∴tan∠CNHtan∠GCM,即:,

即:

x1x242y12y2+y1y2,其中x1+x2=﹣kx1x2b2,y1kx1+b,y2kx2+b,

整理得:b23b+20,整理得:b12(舍去2),

故:b1,

則點(diǎn)R01),而點(diǎn)P2,﹣2),

過(guò)點(diǎn)PPK⊥l交于點(diǎn)K,

dPKRPcos∠RPK,

當(dāng)∠RPK時(shí),d取得最大值為:PR

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如圖,若(1)中∠C≠90°,其他條件不變,請(qǐng)猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

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3A1B1C1A2B2C2關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱,則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為   

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行李的重量xkg

快遞費(fèi)

不超過(guò)1kg

10

超過(guò)1kg但不超過(guò)5kg的部分

3/kg

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