Question

【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】AB＝3．

【解析】

作DE⊥AC，BF⊥AC，根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的關(guān)系，求得，進(jìn)而得到∠DAC＝∠CAB＝60°，在Rt△ADE中，根據(jù)60°銳角三角函數(shù)值，可求得DE＝2，AE＝2，再由Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理求出DC的長(zhǎng)，在△BFC和△ABF中，利用60°角的銳角三角函數(shù)值及勾股定理求出AF的長(zhǎng)，然后根據(jù)求出的兩個(gè)結(jié)果，由AB＝2AF，分類討論求出AB的長(zhǎng)即可.

作DE⊥AC，BF⊥AC，

∵BC＝CD，

∴，

∴∠CAB＝∠DAC，

∵∠DAB＝120°，

∴∠DAC＝∠CAB＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEA＝∠DEC＝90°，

∴sin60°＝，cos60°＝，

∴DE＝2，AE＝2，

∵AC＝7，

∴CE＝5，

∴DC＝，

∴BC＝，

∵BF⊥AC，

∴∠BFA＝∠BFC＝90°，

∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，

∴BF＝AF，

∴，

∴AF＝2或AF＝，

∵cos60°＝，

∴AB＝2AF，

當(dāng)AF＝2時(shí)，AB＝2AF＝4，

∴AB＝AD，

∵DC＝BC，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠ADC＝∠ABC，

∵ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

但AC2＝49，，

AC2≠AD2+DC2，

∴AB＝4（不合題意，舍去），

當(dāng)AF＝時(shí)，AB＝2AF＝3，

∴AB＝3．