【題目】數(shù)學(xué)問題:計算(其中m,n都是正整數(shù),且m≥2,n≥1).
探究問題:為解決上面的數(shù)學(xué)問題,我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,通過不斷地分割一個面積為1的正方形,把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來,并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究.
探究一:計算.
第1次分割,把正方形的面積二等分,其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,陰影部分的面積之和為+;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,…;
…
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分,所有陰影部分的面積之和為+++…+,最后空白部分的面積是.
根據(jù)第n次分割圖可得等式: +++…+=1﹣.
探究二:計算+++…+.
第1次分割,把正方形的面積三等分,其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分,陰影部分的面積之和為+;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分,…;
…
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分,所有陰影部分的面積之和為+++…+,最后空白部分的面積是.
根據(jù)第n次分割圖可得等式: +++…+=1﹣,
兩邊同除以2,得+++…+=﹣.
探究三:計算+++…+.
(仿照上述方法,只畫出第n次分割圖,在圖上標(biāo)注陰影部分面積,并寫出探究過程)
解決問題:計算+++…+.
(只需畫出第n次分割圖,在圖上標(biāo)注陰影部分面積,并完成以下填空)
根據(jù)第n次分割圖可得等式:_________,
所以, +++…+=________.
拓廣應(yīng)用:計算 +++…+.
【答案】
【解析】
探究三:根據(jù)探究二的分割方法依次進(jìn)行分割,然后表示出陰影部分的面積,再除以3即可;
解決問題:按照探究二的分割方法依次分割,然后表示出陰影部分的面積及,再除以(m-1)即可得解;
拓廣應(yīng)用:先把每一個分?jǐn)?shù)分成1減去一個分?jǐn)?shù),然后應(yīng)用公式進(jìn)行計算即可得解.
探究三:第1次分割,把正方形的面積四等分,
其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分,
陰影部分的面積之和為;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分,
…,
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分,
所有陰影部分的面積之和為:,
最后的空白部分的面積是,
根據(jù)第n次分割圖可得等式:=1﹣,
兩邊同除以3,得=;
解決問題:=1﹣,
=;
故答案為:=1﹣,;
拓廣應(yīng)用:,
=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣,
=n﹣(+++…+),
=n﹣(﹣),
=n﹣+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在邊BC上,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AE,使得∠DAE=∠BAC,連接DE交AC于F,請寫出圖中一對相似的三角形:____(只要寫出一對即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小瑩和小亮在筆直的公路上同起點、同終點、同方向勻速步行米,先到終點的人原地休息.已知小瑩先出發(fā)分鐘,在整個步行過程中,兩人的距離(米)與小瑩出發(fā)的時間(分)之間的關(guān)系如圖所示,下列結(jié)論:①小瑩的步行速度為米/分;②小亮用分鐘追上小瑩;③小亮走完全程用了分鐘;④小亮到達(dá)終點時,小瑩離終點還有米。其中正確的結(jié)論有( )
A. 個B. 個C. 個D. 個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD為⊙O的直徑,弦AE∥CD,連接BE交CD于點F,過點E作直線EP與CD的延長線交于點P,使∠PED=∠C.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)求證:ED平分∠BEP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,有直角∠MPN,使直角頂點P與點O重合,直角邊PM,PN分別與OA,OB重合,然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM,PN分別交AB,BC于E,F(xiàn)兩點,連接EF交OB于點G,則下列結(jié)論:(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF∶S正方形ABCD=1∶4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時,AE=;(5)OG·BD=AE2+CF2,其中正確的是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲三角形的周長為,乙三角形的第一條邊長為,第二條邊長為,第三條邊比第二條邊短.
(1)求乙三角形第三條邊的長;
(2)甲三角形和乙三角形的周長哪個大?試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù),,,.
(1)說明點在直線上;
(2)當(dāng)直線經(jīng)過點時,點時直線上的一點,若,求點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E、F是邊BC上的兩點,且BE=CF,DE與AF相交于梯形ABCD內(nèi)一點O.
(1)求證:OE=OF;
(2)當(dāng)EF=AD時,聯(lián)結(jié)AE、DF,先判斷四邊形AEFD是怎樣的四邊形,再證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】元旦期間某商店進(jìn)行促銷活動,活動方式有如下兩種:
方式一:每滿200元減50元;
方式二:若標(biāo)價不超過400元時,打8折;若標(biāo)價超過400元,則不超過400元的部分打8折,超出400元的部分打6折.
設(shè)某一商品的標(biāo)價為元:
(1)當(dāng)元,按方式二應(yīng)付多少錢.
(2)當(dāng)時,取何值兩種方式的優(yōu)惠相同.
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