Question

如圖，D、E分別為等邊△ABC的邊AC、BC上的點(diǎn)，且AD=CE，BD、AE交于點(diǎn)N，BM⊥AE于M．求證：
（1）∠CAE=∠ABD； 
（2）MN=

1

2

BN．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE與三角形BAD全等，由全等三角形的對應(yīng)角相等即可得證；
（2）由（1）得出的全等得到∠EAC=∠ABD，由∠BNM為三角形ABN的外角，利用外角性質(zhì)得到∠ABN為60°，在直角三角形BNM中，利用30度直角三角形的性質(zhì)得到BN=2MN，即可得證．

解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，

CE=AD ∠C=∠BAC=60° CA=AB

，
∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；

（2）∵△ACE≌△BAD，
∴∠EAC=∠ABD，
∴∠BNM=∠ABD+∠BAN=∠EAC+∠BAN=∠BAC=60°，
在Rt△BMN中，∠MBN=30°，
則MN=

1

2

BN．

點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．