Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點G是BC延長線一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當CG=CE時，試判斷CF與EG之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論．
（3）在（2）的條件下，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，又知DE為公共邊，可以推出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性質得到∠DAE=∠DCE．   
（2）根據正方形的性質及CG=CE，證出CF=EF，再求出∠G=30°，判斷出CF=FG，從而得到．
（3）設CF=x，則EF=CF=x，FG=2CF=2x，利用△ADE≌△CDE，得到AE=CE=CG=，AF=AE+EF=，由于△ADF∽△GCF，利用相似三角形的性質求出
的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE．
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．
∴∠DAE=∠DCE．   

（2）．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠DCB=90°
∴∠DAE=∠G．
∴∠DCE=∠G．
∵CG=CE，
∴∠1=∠G．
∴∠DCE=∠1．
∴CF=EF．
∵∠2=∠1+∠DCE=2∠1=2∠G，
又∵∠DCG=180°-∠DCB=90°，
∴∠G=30°，
∴．
∴．

（3）解：設CF=x，則EF=CF=x，FG=2CF=2x．
在Rt△CFG中，．
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE=CG=．
∴AF=AE+EF=．
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，
∴．
點評：本題考查了相似三角形的性質、全等三角形的性質、正方形的性質，綜合性較強，要從圖中找到相關的量，注意挖掘隱含條件．