Question

【題目】（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；

（2））如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

(1) 要求∠DAE的度數(shù)只要得到∠DAC與∠CAE的度數(shù)然后求和即可. 分析條件可知，△ABC，△ABD，△ACE均為等腰三角形. ∠B的度數(shù)易知，故∠BAD的度數(shù)可以在△ABD中由三角形內(nèi)角和得到，進(jìn)而可以得到∠DAC的度數(shù). ∠ACB的度數(shù)易知，故∠CAE的度數(shù)可由三角形的外角關(guān)系得到. 這樣即可求得∠DAE的度數(shù).

(2) 通觀第(1)小題的分析可知，∠DAE的度數(shù)實(shí)質(zhì)上是由∠BAC的度數(shù)通過運(yùn)算得到的. 分析本題的幾何圖形可知，第(2)小題所改變的條件并沒有影響各角之間的幾何關(guān)系. 因此，第(1)小題的思路可以用來求解∠DAE與∠BAC的數(shù)量關(guān)系. 求解時(shí)，參照第(1)小題的思路，將∠BAC當(dāng)作代表角度的代數(shù)符號(hào)代入相應(yīng)的式子進(jìn)行運(yùn)算，從而得到∠DAE與∠BAC的數(shù)量關(guān)系.

試題解析：

(1) ∠DAE=45°. 求解過程如下：

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AB=BD，

∴在△ABD中， ，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-67.5°=22.5°，

∵∠ACB是△ACE的一個(gè)外角，

∴∠ACB=∠CEA+∠CAE，

∵CE=CA，

∴，

∵∠ACB=45°，

∴，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=22.5°+22.5°=45°.

(2) . 理由如下：

∵在△ABC中，AB=AC，

∴,

∵AB=BD，

∴在△ABD中， ，

∴，

∵∠DAC=∠BAC-∠BAD，

∴，

∵∠ACB是△ACE的一個(gè)外角，

∴∠ACB=∠CEA+∠CAE，

∵CE=CA，

∴在△ACE中， ，

∵，

∴，

∴.