Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖象N．

（1）求N的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)點P（m，n）是以點C（1，4）為圓心、1為半徑的圓上一動點，二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數(shù)，則該點稱為整點．求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象M沿x軸翻折得到函數(shù)的解析式為y=﹣x2+1，此時頂點坐標（0，1），

將此圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度得到二次函數(shù)圖象N的頂點為（2，9），

故N的函數(shù)表達式y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：∵A（﹣1，0），B（1，0），

∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2，

∴當PO最大時PA2+PB2最大．如圖，延長OC與⊙O交于點P，此時OP最大，

∴OP的最大值=OC+PO= +1，

∴PA2+PB2最大值=2（ +1）2+2=38+4

（3）

解：M與N所圍成封閉圖形如圖所示，

由圖象可知，M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)為25個

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)N的圖象是由二次函數(shù)M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函數(shù)N的頂點坐標即可解決問題．（2）由PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2可知OP最大時，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解決問題．（3）畫出函數(shù)圖象即可解決問題．本題考查二次函數(shù)綜合題、最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是記住函數(shù)圖象的平移、翻折變換的規(guī)律，學會轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題解決，屬于中考壓軸題．