Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+4的圖象與x軸交于B，C兩點（B在C的左側），與y軸交于點A．

（1）求出點A，B，C的坐標．

（2）在拋物線上有一動點P，拋物線的對稱軸上有另一動點Q，若以B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．

（3）向右平移拋物線，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過△ABC的外心，求出平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0）；（2）P（3，）或（﹣7，﹣）或（13，﹣）；（3）y＝﹣+4x﹣

【解析】

（1）分別令x＝0和y＝0代入可求得點A，B，C的坐標；

（2）利用配方法求出拋物線的頂點坐標，分三種情況：當P在x軸的上方時，即為拋物線的頂點P（3，）；當P在x軸的下方時，有兩種情況：①當P在拋物線對稱軸的左側時，如圖2，②當P在拋物線對稱軸的右側時，如圖3，根據(jù)PQ＝BC＝10，求出橫坐標后再求縱坐標；

（3）通過證明△AOB∽△COA，得△ABC是直角三角形，得△ABC的外心E的坐標為（3，0），則拋物線向右平移5個單位，由此寫出平移后的拋物線的解析式．

解：（1）當x＝0時，y＝4，

∴與y軸交點A（0，4），

當y＝0時，﹣x2+x+4＝0，

解得：x＝﹣2或8，

∴B（﹣2，0），C（8，0）；

（2）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+，

當P在x軸的上方時，即為拋物線的頂點P（3，）時，可以構成平行四邊形BPCQ，如圖1，

當P在x軸的下方時，

∵BC＝2+8＝10，

若四邊形BPCQ為平行四邊形，則BC∥PQ，BC＝PQ＝10，

有兩種情況：①當P在拋物線對稱軸的左側時，如圖2，

∴點P的橫坐標為﹣7，

當x＝﹣7時，y＝﹣×（﹣7）2+×（﹣7）+4＝﹣，

此時P（﹣7，﹣）；

②當P在拋物線對稱軸的右側時，如圖3，

∴點P的橫坐標為13，

當x＝13時，y＝﹣×132+×13+4＝﹣，

此時P（13，﹣）；

綜上所述，點P的坐標為P（3，）或（﹣7，﹣）或（13，﹣）；

（3）如圖3，

∵A（0，4）、B（﹣2，0）、C（8，0）

∴OA＝4，OB＝2，OC＝8，

∴

∴，

∵∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴△AOB∽△COA，

∴∠BAO＝∠ACO，

∵∠ACO+∠OAC＝90°，

∴∠BAO+∠OAC＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的外心就是斜邊BC的中點E，

∵BC＝10，

∴BC的中點E的坐標為（3，0），

即平移后的解析式經(jīng)過E（3，0），

∴相當于把原拋物線向右平移5個單位，

∴平移后的解析式為：y＝﹣（x﹣3﹣5）2+＝﹣+4x﹣．