如圖（1）正方形ABCD和正方形AEFG，邊AE在邊AB上，AB=12，AE=6
2
．將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤45°）
（1）如圖（2）正方形AEFG旋轉(zhuǎn)到此位置，求證：BE=DG；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠BEA=120°時(shí)，試求BE的長；
（3）BE的延長線交直線DG于點(diǎn)Q，當(dāng)正方形AEFG由圖（1）繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線長；
（4）在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某時(shí)刻BF=BC？若存在，試求出DQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．（點(diǎn)Q即（3）中的點(diǎn)）
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）過點(diǎn)A作AH⊥BE交BE的延長線于H，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AEH=60°，解直角三角形求出AH、EH，再利用勾股定理列式求出BH，然后根據(jù)BE=BH-EH代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADG，然后求出∠BQD=∠BAD=90°，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角判斷出點(diǎn)Q的軌跡為以BD為直徑的弧AD，然后根據(jù)弧長公式列式計(jì)算即可得解；
（4）利用勾股定理列式求出AF，從而得到AB=AF=BF，判斷出△ABF是等邊三角形，再根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上判斷出直線BE是AF的垂直平分線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABQ=
1
2
∠BAF=30°，設(shè)BQ與AD相交于H，解直角三角形求出AH，再求出DH，然后在Rt△DHQ中，利用∠ADG的余弦列式求解即可．
解答：（1）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD
∠BAE=∠DAG
AE=AG
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE交BE的延長線于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6
2
，
∴AH=AE•sin60°=6
2
×
3
2
=3
6
，
EH=AE•cos60°=6
2
×
1
2
=3
2
，
在Rt△ABH中，BH=
AB2-AH2
=
122-(3
6
)2
=
90
=3
10
，
∴BE=BH-EH=3
10
-3
2
；

（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BD為直徑的
AD
，所對(duì)的圓心角是90°，
∵AB=12，
∴BD=
2
AB=12
2
，
∴旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線長=
90•π•12
2
360
=3
2
π；

（4）由勾股定理得，AF=
2
AE=
2
×6
2
=12，
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等邊三角形，
又∵AE=EF，
∴直線BE是AF的垂直平分線，
∴∠ABQ=
1
2
∠BAF=30°，
設(shè)BQ與AD相交于H，
則AH=AB•tan30°=12×
3
3
=4
3
，
∴DH=AD-AH=12-4
3
，
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4
3
）×
3
2
=6
3
-6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，難點(diǎn)較大，（2）作輔助線構(gòu)造出有一個(gè)角是60°的直角三角形是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于判斷出路線是以BD為直徑的弧長的一部分，（4）利用到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上判斷出直線BE是AF的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD的邊AB與正方形AEFM的邊AM在同一直線上，直線BE與DM交于點(diǎn)N．求證：BN⊥DM．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，已知線段AB，A、B均為格點(diǎn)．
（1）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出一個(gè)以AB為底邊的等腰三角形ABC，且點(diǎn)C也為格點(diǎn)；
（2）作出△ABC的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•市南區(qū)模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△PQR的直角邊PQ的長均為4cm，QR=8cm，AB與QR在同一直線l上，開始時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，讓△PQR以1cm/s的速度在直線l上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)M點(diǎn)從點(diǎn)Q出發(fā)以1cm/s沿QP運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），四邊形PMBN的面積為S（cm2）．
（1）當(dāng)t=1s時(shí)，求S的值；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍（不考慮端點(diǎn)）；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形PMBN的面積S=
14
S△PQR？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形PMBN為平行四邊形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2012•惠山區(qū)一模）閱讀與證明：
如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，

求證：BF+DE=EF．
分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補(bǔ)短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構(gòu)造出一條與BF+DE相等的線段．如圖1延長ED至點(diǎn)F′，使DF′=BF，連接A F′，易證△ABF≌△ADF′，進(jìn)一步證明△AEF≌△AEF′，即可得結(jié)論．
（1）請(qǐng)你將下面的證明過程補(bǔ)充完整．
證明：延長ED至F′，使DF′=BF，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
應(yīng)用與拓展：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，使頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上．
（2）設(shè)正方形邊長OB為30，當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，試問F為BC的幾等分點(diǎn)？并求此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)正方形邊長OB為30，當(dāng)EF最短時(shí)，直接寫出直線EF的解析式：
y=-x+30
2
y=-x+30
2
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，O為正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)分別在BC與AB上，且OM⊥ON．
（1）試說明OM=ON；
（2）試判斷CN與DM的關(guān)系，并加以證明．

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同步練習(xí)冊(cè)答案