Question

如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A與CB的延長線上的點(diǎn)E重合．
（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？
（2）連接CD，試判斷△CBD的形狀．
（3）求∠BDC的度數(shù)．
（4）若BC=

3

，求直角三角尺ABC旋轉(zhuǎn)掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）三角尺旋轉(zhuǎn)的角度即為∠ABE的度數(shù)，而∠ABE和三角尺的30°角互為補(bǔ)角，由此可求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：BC=BD，由此可得出△BCD的形狀；
（3）已知了等腰△BCD頂角的度數(shù)，可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出底角∠BDC的度數(shù)；
（4）直角三角尺ABC旋轉(zhuǎn)掃過的面積即為扇形BAE的面積，圓心角∠ABE的度數(shù)已經(jīng)求得，而半徑AB的長可在Rt△ABC中由勾股定理求得，進(jìn)而可根據(jù)扇形的面積公式得出結(jié)果．

解答：解：（1）依題意，得∵∠ABC=30°
∴∠DBE=30°
∴∠ABE=180°-30°=150°，即旋轉(zhuǎn)了150°（3分）

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，CB=BD，故△CBD為等腰三角形．（6分）

（3）∵BD=CB，∴∠DCB=∠BDC
又∵∠DBE=∠ABC=30°，∠DBE=∠DCB+∠BDC
故∠BDC=

1

2

∠DBE=15°（9分）

（4）由題意，設(shè)AC=x，則AB=2x，
由勾股定理可得x=1，AB=2；
且∠ABE=150°，
所以直角三角尺ABC旋轉(zhuǎn)得到的面積為

150π×22

360

=

5π

3

（平方單位）．（12分）

點(diǎn)評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算方法等知識點(diǎn)．