Question

【題目】如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接.

（1）若，則的度數(shù)是 ；

（2）若，的周長(zhǎng)是.

①求的長(zhǎng)度；

②若點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①6；②．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AM=BM，然后求出△MBC的周長(zhǎng)=AC+BC，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)的值最小，于是得到結(jié)論．

解：解：（1）如圖，

∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，
∴∠ANM=90°，
∴∠NMA=50°，
故答案為：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分線，
∴AM=BM，
∴△MBC的周長(zhǎng)=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，

∴AC=8，

∵△MBC的周長(zhǎng)是14，
∴BC=14-8=6；
②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小，
∴△PBC周長(zhǎng)的最小值=AC+BC=8+6=14．