Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=4+ ，BC=2 ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2 ，
∴BE= BC= ，CE=3，
∵AB=4+ ，
∴AE=AB﹣BE=4，
∴在Rt△ACE中，AC= =5，
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，OA= ，
∴⊙O的半徑為 ．
【解析】（1）連接半徑，利用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)可證出OA⊥PA，進(jìn)而證出PA是⊙O的切線；（2）通過(guò)過(guò)C作垂線把∠B放到直角三角形中，利用60度角的三角函數(shù)，求出AC，進(jìn)而求出⊙O的半徑.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．