Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O順時針方向旋轉α度得到四邊形OA?B?C?，此時直線OA?、直線B?C?分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是

矩形

，當α=90°時，

BP

PQ

的值是

4：3

．
（2）①如圖2，當四邊形OA?B?C?的頂點B?落在y軸正半軸時，則

BP

PQ

=

7

15

．
②如圖3，當四邊形OA?B?C?的頂點B?落在直線BC上時，則△OPB?的面積為

75

4

．

Answer 1

分析：（1）根據有一個角是直角的平行四邊形進行判斷當α=90°時，就是長與寬的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根據勾股定理求得PB′的長，再根據三角形的面積公式進行計算．

解答：解：（1）四邊形OABC的形狀是矩形；根據題意即是矩形的長與寬的比，即 4：3．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴

CP

A′B′

=

OC

OA′

，即

CP

6

=

6

8

，
∴CP=

9

2

，BP=BC-CP=

7

2

．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴

CQ

C′Q

=

B′C

B′C′

，即

CQ

6

=

10-6

8

，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴

BP

PQ

=

7 2

9 2 +3

=

7

15

；
②在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．設B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

．
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

；
故填：矩形，

4

3

，

7

15

，

75

4

．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．