Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形的頂點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，頂點在第一象限內(nèi)，拋物線（常數(shù)）的頂點為正方形對角線上一動點．

（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過兩點時，求拋物線的解析式；

（2）若拋物線與直線相交于另一點（非拋物線頂點，且在第一象限內(nèi)），求證：長是定值；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，取的中點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；

（2）證明見解析；

（3）最小值為．

【解析】

（1）把點和點坐標(biāo)代入得到關(guān)于的方程組，然后解方程組即可；

（2）先利用正方形性質(zhì)得到，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，再求出頂點的坐標(biāo)為，然后把代入得到，設(shè)，，則為的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用兩點間的距離公式計算，從而判定長是定值；

（3）取的中點，連接交于，如圖，則，，則過點作的平行線交于，利用四邊形為平行四邊形得到，所以，利用兩點之間線段最短判斷此時的值最小，利用勾股定理可計算出它的最小值．

（1）解：把，代入

得，解得，

所以拋物線解析式為；

（2）證明：四邊形為正方形，

而，

，

設(shè)直線的解析式為，

把，代入得，解得，

直線的解析式為，

，

頂點的坐標(biāo)為，

把代入得的坐標(biāo)，

即，

設(shè)，，

則為的兩根，

整理為，

，，

，

，

即長是定值；

（3）取的中點，連接交于，如圖，

，，

，

，

過點作的平行線交于，

四邊形為平行四邊形，

，

點與點關(guān)于對稱，

，

，

此時的值最小，最小值為．