Question

【題目】如圖，在中，，，，P是BC上一動點，過P作AP的垂線交CD于E，將翻折得到，延長FP交AB于H，連結(jié)AE，PE交AC于G.

（1）求證；

（2）當時，求AE的長；

（3）當時，求AG的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先證明P、C、F共線，由余角的性質(zhì)可證，根據(jù)等角對等邊證明，再由余角的性質(zhì)證明和等角對等邊證明，結(jié)論可證；

（2）過A作于M，由勾股定理可求BC=4，然后求出MP的長，再由勾股定理求出AP的長，由是等腰直角三角形可求出AE的長；

（3）通過證明，可得，由外角的性質(zhì)可求出∠PAF=F=22.5°，再根據(jù)角的和差和三角形內(nèi)角和定理證明，然后求出，然后通過證明，利用相似三角形的對應邊成比例即可求解.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，，

∴，

∴，

又∵，

∴，，

故F在AC的延長線上.

又，，

而，∴，

而，∴，∴，

又，，∴，

∴，∴，

（2）過A作于M，

∵，，

∴BC=4，

∴，，

又∵，

∴BP=3，CP=，

∴，

∴，

由（1）知AP=AE，

∴是等腰直角三角形，

∴；

（3）由，且得

，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∵，

∴，而∴，

∴，∴，

∴，

∴.