【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8,4),連接AC,BC.

(1)求過O,A,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),PA=QA?
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)M,使以A,B,M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:∵直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點(diǎn),

∴A(5,0),B(0,10),

∵拋物線過原點(diǎn),

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,

∵拋物線過點(diǎn)A(5,0),C(8,4),

,

∴拋物線解析式為y= x2 x,

∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),

∴AB2=52+102=125,BC2=82+(10﹣4)2=100,AC2=42+(8﹣5)2=25,

∴AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是直角三角形.


(2)

解:如圖1,

當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t時(shí),

由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,

在Rt△AOP和Rt△ACQ中,

,

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,

∴OP=CQ,

∴2t=10﹣t,

∴t= ,

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 時(shí),PA=QA;


(3)

解:存在,

∵y= x2 x,

∴拋物線的對(duì)稱軸為x= ,

∵A(5,0),B(0,10),

∴AB=5

設(shè)點(diǎn)M( ,m),

①若BM=BA時(shí),

∴( 2+(m﹣10)2=125,

∴m1= ,m2=

∴M1 , ),M2 , ),

②若AM=AB時(shí),

∴( 2+m2=125,

∴m3= ,m4=﹣ ,

∴M3 ),M4 ,﹣ ),

③若MA=MB時(shí),

∴( ﹣5)2+m2=( 2+(10﹣m)2,

∴m=5,

∴M( ,5),此時(shí)點(diǎn)M恰好是線段AB的中點(diǎn),構(gòu)不成三角形,舍去,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為:M1 ),M2 , ),M3 ),M4 ,﹣ ),


【解析】(1)先確定出點(diǎn)A,B坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形;(2)根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;(3)分三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi),兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,ABCD中,,點(diǎn)P方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,運(yùn)動(dòng)開始時(shí)以每秒2個(gè)長度單位勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)D點(diǎn)后,改為每秒m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)C后,改為每秒n個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

求:AB、BC的長;

m,n的值.

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【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)他們平均每天的課外閱讀時(shí)間t(單位:min),然后利用所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表.

課外閱讀時(shí)間t

頻數(shù)

百分比

10≤t30

4

8%

30≤t50

8

16%

50≤t70

a

40%

70≤t90

16

b

90≤t110

2

4%

合計(jì)

50

100%

請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問題:

1a=   ,b=   

(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

(3)若全校有900名學(xué)生,估計(jì)該校有多少學(xué)生平均每天的課外閱讀時(shí)間不少于50min?

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【題目】如圖,在ABCD中,E是BC的中點(diǎn),連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:AB=CF;
(2)連接DE,若AD=2AB,求證:DE⊥AF.

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【題目】某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),且獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)y=kx+b,且x=65時(shí),y=55;x=75時(shí),y=45.
(1)求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式;
(2)若該商場(chǎng)獲得利潤為W元,試寫出利潤W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式;銷售單價(jià)定為多少元時(shí),商場(chǎng)可獲得最大利潤,最大利潤是多少元?
(3)若該商場(chǎng)獲得利潤不低于500元,試確定銷售單價(jià)x的范圍.

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結(jié)論:(1)

(2)

選擇結(jié)論: ,說明理由.

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(1)甲,乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,各需多少天?
(2)若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程,要使乙公司的總施工費(fèi)較少,則甲公司每天的施工費(fèi)應(yīng)低于多少元?

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A.60
B.64
C.68
D.72

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【題目】如圖,在正方形ABCD中,P是CD邊上一點(diǎn),DF⊥AP,BE⊥AP.

求證:AE=DF.

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