Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD＝8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F．連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（4）連接PC，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形；（2）y＝t2﹣8t+40；（3）不存在；詳見解析；（4）t＝s時(shí)，點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上．

【解析】

（1）假設(shè)PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行，進(jìn)而得到AP=AM，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；

（2）根據(jù)PQ∥AC，利用相似三角形的性質(zhì)可得三角形BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，用含t的代數(shù)式就可以表示出BF，進(jìn)而得到梯形的高DF= 又點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間可知點(diǎn)M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到y與t的關(guān)系式；

（3）根據(jù)三角形的面積公式，先求出三角形ABC的面積，又根據(jù)S四邊形PQCM＝S△ABC，求出四邊形PQCM的面積，從而得到了y的值，代入第二問求出的y與t的解析式中求出t的值即可；

（4）假設(shè)存在，則根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可得到MP=MC，過點(diǎn)M作MH垂直AB，由一對(duì)公共角的相等和一對(duì)直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)而用含t的代數(shù)式表示出AH和HM的長(zhǎng)，再由AP的長(zhǎng)減AH的長(zhǎng)表示出PH的長(zhǎng)，從而在直角三角形PHM中根據(jù)勾股定理表示出MP的平方，再由AC的長(zhǎng)減AM的長(zhǎng)表示出MC的平方，根據(jù)兩者的相等列出關(guān)于t的方程進(jìn)而求出t的值．

解：（1）假設(shè)四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，

∴AP：AB＝AM：AC，

∵AB＝AC，

∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，

解得：

∴當(dāng)時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形；

（2）∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ為等腰三角形，PQ＝PB＝t，

∴ 即

解得：

∴FD＝BD﹣BF＝8﹣，

又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，

∴y＝（PQ+MC）FD＝

（3）不存在；

∵S△ABC＝

當(dāng)S四邊形PQCM＝S△ABC時(shí)，y＝

解得：t＝0，或t＝20，都不合題意，因此不存在；

（4）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP＝MC，

過M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：

∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴

又∵AD＝

∴

∴

∴HP＝10﹣t﹣＝10﹣

在Rt△HMP中，

又∵MC2＝＝100﹣40t+4t2，

∵MP2＝MC2，

∴

解得（舍去），

∴時(shí)，點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上．