Question

如圖，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE，DF分別交AG于P、Q，以下說法中，不正確的是（　�。�

• A、AG⊥FD
• B、AQ：QG=6，7
• C、EP：PD=2：11
• D、S_{四邊形GCDQ}：S_{四邊形BGQF}=17：9

Answer 1

分析：先用SAS證明兩個三角形全等，得到對應的角相等，證明A正確．根據兩角對應相等，證明兩三角形相似，分別用含a的式子表示AQ和QG，求出它們的比值，證明B正確．用三角形相似，對應線段的比相等，求出EP：PD的值，證明C不正確．分別用含a的式子表示兩個四邊形的面積，求出它們的比值，證明D正確．

解答：解：A、∵AD=BA，∠DAF=∠ABC=90°，AF=BG=

2

3

BC．
∴△DAF≌△ABG，
∴∠DFA=∠AGB，
∵∠AGB+∠BAG=90°，
∴∠BAG+∠DFA=90°，
∴AG⊥FD．所以A正確．

B、設AE=EF=FB=a，則BG=2a，AG=

13

a．
由A可得：△AFQ∽△AGB，
∴

AQ

AB

=

AF

AG

，AQ=

AB•AF

AG

=

3a•2a

13 a

=

6a

13

．
QG=AG-AQ=

13

a-

6a

13

=

7a

13

．
AQ：QG=

6a

13

：

7a

13

=6：7．所以B正確．

C、如圖1：
延長AG，DC相交于H，則△ABG∽△HCG，
設AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，得到CH=

3a

2

．
又△AEP∽△HDP，
∴

EP

PD

=

AE

HD

=

a

3a+ 3a 2

=2：9．
不是2：11．所以C不正確．

D、如圖2：
連接FG，DG．
設AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，DC=3a，
由△AFQ∽△AGB，得：

FQ

BG

=

AQ

AB

，F(xiàn)Q=

BG•AQ

AB

=

2a• 6a 13

3a

=

4a

13

，
∴DQ=DF-FQ=

13

a-

4a

13

=

9a

13

．
S_{四邊形GCDQ}=S_△GCD+S_△GQD=

1

2

GC•CD+

1

2

GQ•QD=

1

2

a•3a+

1

2

•

7a

13

•

9a

13

=

51a2

13

．
S_{四邊形BGQF}=S_△FBG+S_△FQG=

1

2

BG•BF+

1

2

FQ•GQ=

1

2

a•2a+

1

2

•

4a

13

•

7a

13

=

27a2

13

．
∴S_{四邊形GCDQ}：S_{四邊形BGQF}=

51a2

13

：

27a2

13

=17：9．所以D正確．
故選C．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據正方形的性質可以得到三角形全等或相似，然后用全等或相似的性質進行計算或證明，得到正確的判斷．