Question

如圖，將Rt△AOB放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，斜邊OB在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，∠AOB的平分線(xiàn)OC交AB于C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線(xiàn)BC-CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線(xiàn)CO-Oy以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求OC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最值，并求其最值．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形AOB中根據(jù)OB和cos60°，利用三角函數(shù)的定義求出OA，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函數(shù)的定義即可求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)等角對(duì)等邊可知BC等于OC；
（2）分兩種情況考慮：第一，P在BC邊上，根據(jù)速度和時(shí)間t得到PB等于CQ都等于t，過(guò)Q作DE與AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC減去PB，利用三角形的面積公式即可列出S與t的函數(shù)關(guān)系式；第二，當(dāng)P在邊CQ上時(shí)，同理可得S與t的關(guān)系式，然后求得二次函數(shù)的最值即可；

解答：解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
OA=OBcos60°=

3

，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴OC=

AO

cos30°

=2，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=

1

2

t（2-t）sin60°=-

3

4

t2+

3

2

t=-

3

4

（t-1）²+

3

4

，當(dāng)t=1時(shí)，有最大值是

3

4

；
當(dāng)2≤t＜4時(shí)S=

1

2

（t-2）（4-t）sin60°=-

3

4

t²+

3 3

2

t-2

3

=-

3

4

（t-3）²+

3

4

，當(dāng)t=3時(shí)，有最大值是

3

4

；
綜上，當(dāng)t=1或3時(shí)，S有最大值是

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)已知的邊和角利用三角函數(shù)的定義求出未知邊和角，掌握直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及等腰三角形的性質(zhì)與判斷，注意靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的方法解決實(shí)際問(wèn)題，是一道綜合題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意考慮問(wèn)題要全面．