Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD交BC邊于點(diǎn)M，BD=

1

2

AC，∠BAC=∠ABD=120°，則BM：MC的值是______；作△ABC的中線CF交AM于G，則CG：GF的值是______．

Answer 1

過點(diǎn)A作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BE=CE，∠C=∠ABC=30°．
設(shè)BD=k，則AB=AC=2k．
在△BDM中，∠DBM=∠ABD-∠ABM=120°-30°=90°．
在△ABE中，∵∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2k，
∴AE=k．
在△AME與△DMB中，
∵

∠AME=∠DMB ∠AEB=∠DBM AE=DB

，
∴△AME≌△DMB（AAS），
∴EM=BM，
∵CE=BE=BM+EM=2BM，
∴MC=EM+CE=3BM，
∴BM：MC=BM：3BM=

1

3

；
如圖，作△ABC的中線CF交AM于G，設(shè)CF與AE交于點(diǎn)H，連接FM．
∵EM=BM，AF=BF，
∴FM∥BD，F(xiàn)M=

1

2

BD=

1

2

k．
∵AE∥BD，
∴FM∥AE，
∴

CH

HF

=

CE

EM

=2，

HE

FM

=

CE

CM

=

2

3

，
∴CH=2HF，HE=

2

3

FM=

2

3

×

1

2

k=

1

3

k，
∴AH=AE-HE=k-

1

3

k=

2

3

k．
∵

HG

GF

=

AH

FM

=

2 3 k

1 2 k

=

4

3

，
令HG=4t，則GF=3t，HF=7t，CH=14t，
∴CG=CH+HG=18t，
∴CG：GF=18t：3t=6．
故答案為

1

3

；6．