【題目】若拋物線與x軸的兩個交點及其頂點構成等邊三角形,則稱該拋物線“等邊拋物線”.

(1)若對任意m,n,點M(m,n)和點N(-m+4,n)恒在“等邊拋物線”上,求拋物線的解析式;

(2)若拋物線“等邊拋物線”,求的值;

(3)對于“等邊拋物線”,當1<x<m吋,總存在實數(shù)b。使二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)y=x圖象的下方,求m的最大值.

【答案】1;(2;(3m的最大值為6.

【解析】

1)先由點M和點N關于對稱軸對稱,可得對稱軸x=2,依據(jù)x=,可得b=-4a,從而得,然后分a0a0兩種情況討論,根據(jù)等邊三角形性質得出頂點坐標,代入計算即可;

2)設等邊拋物線與x軸的兩個交點分別為,,知,結合頂點坐標,可得:,由此即可求出;

3)由(2)中可得,結合該等邊拋物線過(1,1),求得b=-6b=2,依據(jù)對稱軸位置可知b=-6,聯(lián)立,解得x=1x=6,從而得出答案.

解:(1)由題意得,點M和點N關于對稱軸對稱,

∴對稱軸x=,

x=

b=-4a,

,

①當a0時,頂點坐標為(2,-2),

代入,得-2=4a-8a

解得:a=,

②當a0時,頂點坐標為(2,2),

代入,得2=4a-8a

解得:a=,

;

綜上,;

2)設等邊拋物線與x軸的兩個交點分別為,

,∴,

,

又∵拋物線頂點坐標為

,∵

,

3)由(2)得,∴,

,

由題意可得該等邊拋物線過(11),

解得:b=-6b=2,

又對稱軸x=,

b-2

b=-6,

聯(lián)立,

解得x=1x=6

m的最大值為6.

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