Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是軸右側(cè)拋物線圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

①是否存在這樣的點(diǎn)使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②若該動(dòng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得，由對(duì)稱軸得，聯(lián)立可得的值，即可確定拋物線解析式；

（2）由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)可知.

① 分點(diǎn)P在第一象限和第四象限兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過作交延長(zhǎng)線于，作軸于，易證，由可知其相似比為，易知長(zhǎng)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的解析式與拋物線解析式聯(lián)立即可確定點(diǎn)P坐標(biāo)；當(dāng)在第四象限時(shí)，作關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，可知點(diǎn)P在直線上，求出直線的解析式與拋物線解析式聯(lián)立即可確定點(diǎn)P坐標(biāo)；

②分別過作直線的垂線，垂足分別為，并過作軸平行線交直線于點(diǎn)并設(shè)軸交直線于點(diǎn)，易得，于是，設(shè)直線解析式為，利用確定k值，求出直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立可得點(diǎn)P坐標(biāo)，易知t值.

解：（1）將點(diǎn)代入得，由拋物線對(duì)稱軸得，聯(lián)立得，解得，所以拋物線的解析式為；

由得，

，即.

①當(dāng)在第一象限時(shí)，過作交延長(zhǎng)線于，作軸于

，，軸

，

其中，即相似比為

設(shè)直線解析式為，

將點(diǎn)，代入得

，解得

所以直線解析式為:

聯(lián)立

解得

當(dāng)在第四象限時(shí)，作關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則在直線上.

設(shè)直線解析式為，

將點(diǎn)代入得，解得

所以直線解析式為

聯(lián)立

解得

綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或

即或；

②如圖，分別過作直線的垂線，垂足分別為，并過作軸平行線交直線于點(diǎn)并設(shè)軸交直線于點(diǎn).

由作圖可知軸，

，

設(shè)直線解析式為，

則.

由已知得

解得

聯(lián)立

解得

即.